三角函数的值域.ppt

xy复习回顾1.正弦函数2.余弦函数cos[1,1]2()2()yxRxkkZxkkZ定义域是，值域为在时取得最小值-1在时取得最大值1sin[1,1]2()122()12yxRxkkZxkkZ定义域是，值域为在时取得最小值在时取得最大值xbaxbxasincossin223.正切函数tan{|,},.2yxxxkkZR的定义域为值域为(tan)baba其中由及、的符号确定4.sincosaxbx型函数2222min,maxabab典例剖析1cos21cos2sin2322sin2cos222sin(2)24xxyxxxx解：maxmin()22.83()228xkkZyxkkZy所以，当时，当时，方法点拨：22sinsincoscossin(2)yaxbxxcxdAxk形如的函数，首先要先降幂，利用辅助角转化为y的形式，再去研究此函数的相关性质22sin2sincos3cos,()yxxxxxR求函数的最值【例1】巩固练习1、已知△ABC中，，求使取最大值时∠C的大小.324tanA62sinsin22BBy,32)4tan(A解：,32tan1tan1AA即(0t,an3,3)AAA),62sin(sin22BBy又BBB2cos212sin232cos11)62sin(B定义域是什么呢？3203BA可知，由67626B时，即当且仅当3,262BB3yC有最大值,此时1、已知△ABC中，，求使取最大值时∠C的大小.324tanA22sinsin26yBBsin(2)16yB巩固练习278cos2sin[,]63yxxx求函数在上的最值【例2】解：278cos2sinyxx278cos2(1cos)xx22cos23x[,]63x1cos[1]2x，3[1]2y，22cos8cos5xx方法点拨：22sinsin(coscos)yaxbxcyaxbxc形如或的函数，可化归为二次函数在闭区间上的最值问题.求函数,0,cossincossinxxxxxy的和最小值。sincosxxt解：设32sin()144424xx2sin()4tx[1,2]t即21sincos2txx可得21(1)1t[-1,2]2t2sincos)12sincos,xxxx由(22111222tytttmaxmin11;11tyty当时，当时，方法点拨：2sincossincos(sincos)12sincossincos,xxxxxxxxtxx对于由，组成的三角函数可利用求解问题，设经过换元把三角函数问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题注：换元变量的取值范围的最大值【例3】【例4】1coscos3xyx求函数的最值1cos13coscos31xyyxxy由得cos1,01xy，由则minmax0,1yy解：方法点拨：sincos()sincossincos,axbaxbyycxdcxdxx形如的函数，利用反函数法，先解出或根据它们的有界性求最值，或采用分离常数的方法去解决.变式：加条件:x是不等边三角形的最小内角，会有什么变化呢？03x注意定义域解法一：sin2cosxyx求函数的最值【例5】sincos2xyxy原式可化为22sin()1yxy221,1yy所以3333y解得minmax33,33yy所以sin()1x,因为223131kkk由得解法二：(cossin)Mxx，2,0A本题可转化为圆上动点与定点连线的斜率的最大值和最小值．x1221Oy1M2M(2,0)(2)Aykx过的直线方程设为20kxyk经整理得minmax33,33yy所以解：sin2cosxyx求函数的最值2,0A【例5】方法点拨：sincos()cossinaxbaxbyycxdcxd形如的函数(1)sin()()sin()1xgyxy可化归为，利用，求出的取值范围.(2)ac当时，可以利用数形结合的方法去处理解：由已知，得1sinsin3yx221sincossin1sin3yxxx2111sin212x11121sin2x当时，2sincosyx有最小值sin1,1y11sin13x24sin33xsin1x又2sin13x即1sinsin3xy2sincosyx已知，求的最大值和最小值【例6】492sin3x当时，有最大值2sincosyx易错点：忽略题目中的隐含条件实战演练1.3sincos,,66yxxx函数的值域是（）.[3,3].[2,2].[0,2].[0,3]ABCDD2.2sin(sincos)yxxx函数的最大值是（）.12.21.2.2ABCDA23.()sin3sincos[]42fxxxx求函数在区间，上的最大值（）133.1B.C.D.1+322ACsin[,]2yxx4.函数在上的最大值是（）332.1B.1C.D.2222ADsinsinyxx5.函数的值域为（）.[2,2]B.[0,2].[2,1]D.[1,1]ACB4cos2(cos1)kyxkx6.已知，则函数的最小值是（）.1B.1.21D.21ACkkA归纳总结知识小结1、本节课的重点是：掌握求解三角函数值域的基本题型与基本方法。2、树立数形结合与转化的数学思想，锻炼发散思维能力。1sinsinyaxbtx、设1,1yatb化为一次函数在闭区间t上的最值求解2sincosyaxbxc、2sinyabxc2引入辅助角，将其化为求解23sinsinsinyaxbxctx、设2yatbtc转化为二次函数在的最值问题224sinsincoscosyaxbxxcxd、sin(2)yAx先降幂，再利用辅助角，将其转化为的形式，的最值问题.5sincos(sincos)yaxxbxxc、sincostxx设，换元转化为二次函数求最值sincos6sincosaxbaxbyycxdcxd、（）（1）反函数法，利用正弦或余弦函数的有界性求最值（2）分离常数法求最值sincos7()cossinaxbaxbyycxdcxd、(1)sin()()sin()1xgyx转化为，，求最值.(2)利用数形结合的方法去处理最值8、其它方法（2）图像法（1）单调性（3）判别式法布置作业期末单元专题卷《三角函数的值域》2sinsin,coscos2xyxy已知则的最大值和最小值（）4242.,3322.331414.2222.22ABCD最小值是-最大值是最小值是-，最大值是最小值是-，最大值是最小值是-，最大值是C课外思考题补充练习22cos0()4cossinsin____xxfxxxx当时，函数的最小值是4