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677第2章线性规划的图解法1．解：（1）可行域为OABC。（2）等值线为图中虚线部分。（3）由图2-1可知，最优解为B点，最优解1x=127，2157x=；最优目标函数值697。图2-12．解：（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解120.20.6xx=⎧⎨=⎩，函数值为3.6。图2-2678（2）无可行解。（3）无界解。（4）无可行解。（5）无穷多解。（6）有唯一解1220383xx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，函数值为923。3．解：（1）标准形式12123max32000fxxsss=++++1211221231212392303213229,,,,0xxsxxsxxsxxsss++=++=++=≥（2）标准形式1212min4600fxxss=+++12112212121236210764,,,0xxsxxsxxxxss−−=++=−=≥（3）标准形式12212min2200fxxxss′′′′=−+++1221122122212212355702555032230,,,,0xxxsxxxxxxsxxxss′′′−+−+=′′′′−+=′′′′+−−=′′′′≥4．解：标准形式1212max10500zxxss=+++1211221212349528,,,0xxsxxsxxss++=++=≥松弛变量（0，0）最优解为1x=1，x2=3/2。5．解：679标准形式12123min118000fxxsss=++++121122123121231022033184936,,,,0xxsxxsxxsxxsss+−=+−=+−=≥剩余变量（0,0,13）最优解为x1=1，x2=5。6．解：（1）最优解为x1=3，x2=7。（2）113c。（3）226c。（4）1264xx==。。（5）最优解为x1=8，x2=0。（6）不变化。因为当斜率12113cc−−−≤≤，最优解不变，变化后斜率为1，所以最优解不变。7．解：模型12max500400zxx=+1211121223003540224401.21.5300,0xxxxxxxx++≤≤≤≤≥（1）1150x=，270x=，即目标函数最优值是103000。（2）2，4有剩余，分别是330，15，均为松弛变量。（3）50，0，200，0。（4）在[]0,500变化，最优解不变；在400到正无穷变化，最优解不变。（5）因为124501430cc−=−−≤，所以原来的最优产品组合不变。8．解：（1）模型ABmin83fxx=+ABABBAB5010012000005460000100300000,0xxxxxxx++≤≥≥≥基金A，B分别为4000元，10000元，回报额为60000元。680（2）模型变为ABmax54zxx=+ABBAB501001200000100300000,0xxxxx+≤≥≥推导出118000x=，23000x=，故基金A投资90万元，基金B投资30万元。681第3章线性规划问题的计算机求解1．解：（1）1150x=，270x=；目标函数最优值103000。（2）1、3车间的加工工时数已使用完；2、4车间的加工工时数没用完；没用完的加工工时数为2车间330小时，4车间15小时。（3）50，0，200，0。含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加。（4）3车间，因为增加的利润最大。（5）在400到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变。（6）不变，因为在[]0,500的范围内。（7）所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条件1的右边值在[]200,440变化，对偶价格仍为50（同理解释其他约束条件）。（8）总利润增加了100×50=5000，最优产品组合不变。（9）不能，因为对偶价格发生变化。（10）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和2550100%100100+≤（11）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和5060100%140140+≤，其最大利润为103000+50×50−60×200=93500元。2．解：（1）4000，10000，62000。（2）约束条件1：总投资额增加1个单位，风险系数则降低0.057；约束条件2：年回报额增加1个单位，风险系数升高2.167；约束条件3：基金B的投资额增加1个单位，风险系数不变。（3）约束条件1的松弛变量是0，表示投资额正好为1200000；约束条件2的剩余变量是0，表示投资回报额正好是60000；约束条件3的松弛变量为700000，表示投资B基金的投资额为370000。（4）当2c不变时，1c在3.75到正无穷的范围内变化，最优解不变；当1c不变时，2c在负无穷到6.4的范围内变化，最优解不变。（5）约束条件1的右边值在[]780000,1500000变化，对偶价格仍为0.057（其他同理）。（6）不能，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和42100%4.253.6+，理由见百分之一百法则。3．解：（1）18000，3000，102000，153000。682（2）总投资额的松弛变量为0，表示投资额正好为1200000；基金B的投资额的剩余变量为0，表示投资B基金的投资额正好为300000；（3）总投资额每增加1个单位，回报额增加0.1；基金B的投资额每增加1个单位，回报额下降0.06。（4）1c不变时，2c在负无穷到10的范围内变化，其最优解不变；2c不变时，1c在2到正无穷的范围内变化，其最优解不变。（5）约束条件1的右边值在300000到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为0.1；约束条件2的右边值在0到1200000的范围内变化，对偶价格仍为-0.06。（6）600000300000900000900000+=100%故对偶价格不变。4．解：（1）18.5x=，21.5x=，30x=，40x=，最优目标函数18.5。（2）约束条件2和3，对偶价格为2和3.5，约束条件2和3的常数项增加一个单位目标函数分别提高2和3.5。（3）第3个，此时最优目标函数值为22。（4）在负无穷到5.5的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。（5）在0到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。5．解：（1）约束条件2的右边值增加1个单位，目标函数值将增加3.622。（2）2x目标函数系数提高到0.703，最优解中2x的取值可以大于零。（3）根据百分之一百法则判定，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和12100%14.583+≤∞，所以最优解不变。（4）因为1565100309.189111.2515+−−%，根据百分之一百法则，我们不能判定其对偶价格是否有变化。683第4章线性规划在工商管理中的应用1．解：为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。设按14种方案下料的原材料的根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，模型如表4-1所示。4-112345678910111213142640mm211100000000001770mm010032211100001650mm001001021032101440mm00010010120123minf=x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14s.t.2x1＋x2＋x3＋x4≥80x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥350x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13≥420x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14≥10x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥0用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解为x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12=0，x13=0，x14=3.333最优值为300。2．解：从上午11时到下午10时分成11个班次，设xi表示第i班次安排的临时工的人数，模型如下。minf=16(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11)s.t．x1＋1≥9x1＋x2＋1≥9x1＋x2＋x3＋2≥9x1＋x2＋x3＋x4＋2≥3x2＋x3＋x4＋x5＋1≥3x3＋x4＋x5＋x6＋2≥3x4＋x5＋x6＋x7＋1≥6x5＋x6＋x7＋x8＋2≥12x6＋x7＋x8＋x9＋2≥12x7＋x8＋x9＋x10＋1≥7x8＋x9＋x10＋x11＋1≥7684x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。x1=8，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，x6=4，x7=0，x8=6，x9=0，x10=0，x11=0，最优值为320。（1）在满足对职工需求的条件下，在11时安排8个临时工，13时新安排1个临时工，14时新安排1个临时工，16时新安排4个临时工，18时新安排6个临时工可使临时工的总成本最小。（2）这时付给临时工的工资总额为80元，一共需要安排20个临时工的班次。约束松弛/剩余变量对偶价格------------------------------10−420032049050−465070080090−410001100根据剩余变量的数字分析可知，可以让11时安排的8个人工做3小时，13时安排的1个人工作3小时，可使得总成本更小。（3）设xi表示第i班上班4小时临时工人数，yj表示第j班上班3小时临时工人数。minf=16(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8)＋12(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋y7＋y8＋y9)s.t．x1＋y1＋1≥9x1＋x2＋y1＋y2＋1≥9x1＋x2＋x3＋y1＋y2＋y3＋2≥9x1＋x2＋x3＋x4＋y2＋y3＋y4＋2≥3x2＋x3＋x4＋x5＋y3＋y4＋y5＋1≥3x3＋x4＋x5＋x6＋y4＋y5＋y6＋2≥3x4＋x5＋x6＋x7＋y5＋y6＋y7＋1≥6x5＋x6＋x7＋x8＋y6＋y7＋y8＋2≥12x6＋x7＋x8＋y7＋y8＋y9＋2≥12x7＋x8＋y8＋y9＋1≥7x8＋y9＋1≥7x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9≥0用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。685x1=0，x2=0，x3=0，x4=0，x5=0，x6=0，x7=0，x8=6，y1=8，y2=0，y3=1，y4=0，y5=1，y6=0，y7=4，y8=0，y9=0。最优值为264。具体安排如下。在11：00－12：00安排8个3小时的班，在13：00－14：00安排1个3小时的班，在15：00－16：00安排1个3小时的班，在17：00－18：00安排4个3小时的班，在18：00－19：00安排6个4小时的班。总成本最小为264元，能比第一问节省320−264=56元。3．解：设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1，x2，x3，则可建立下面的数学模型。maxz＝10x1＋12x2＋14x3s.t.x1＋1.5x2＋4x3≤20002x1＋1.2x2＋x3≤1000x1≤200x2≤250x3≤100x1，x2，x3≥0用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。x1=200，x2=250，x3=100，最优值为6400。（1）在资源数量及市场容量允许的条件下，生产A200件，B250件，C100件，可使生产获利最多。（2）A、B、C的市场容量的对偶价格分别为10元，12元，14元。材料、台时的对偶价格均为0。说明A的市场容量增加一件就可使总利润增加10元，B的市场容量增加一件就可使总利润增加12元，C的市场容量增加一件就可使总利润增加14元。但增