倒立摆系统的控制器设计

2课程设计指导教师评定成绩表项目分值优秀(100x≥90)良好(90x≥80)中等(80x≥70)及格(70x≥60)不及格(x60)评分参考标准参考标准参考标准参考标准参考标准学习态度15学习态度认真，科学作风严谨，严格保证设计时间并按任务书中规定的进度开展各项工作学习态度比较认真，科学作风良好，能按期圆满完成任务书规定的任务学习态度尚好，遵守组织纪律，基本保证设计时间，按期完成各项工作学习态度尚可，能遵守组织纪律，能按期完成任务学习马虎，纪律涣散，工作作风不严谨,不能保证设计时间和进度技术水平与实际能力25设计合理、理论分析与计算正确，实验数据准确，有很强的实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文献查阅能力强、引用合理、调查调研非常合理、可信设计合理、理论分析与计算正确，实验数据比较准确，有较强的实际动手能力、经济分析能力和计算机应用能力，文献引用、调查调研比较合理、可信设计合理，理论分析与计算基本正确，实验数据比较准确，有一定的实际动手能力，主要文献引用、调查调研比较可信设计基本合理，理论分析与计算无大错，实验数据无大错设计不合理，理论分析与计算有原则错误，实验数据不可靠，实际动手能力差，文献引用、调查调研有较大的问题创新10有重大改进或独特见解，有一定实用价值有较大改进或新颖的见解，实用性尚可有一定改进或新的见解有一定见解观念陈旧论文(计算书、图纸)撰写质量50结构严谨，逻辑性强，层次清晰，语言准确，文字流畅，完全符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸非常工整、清晰结构合理，符合逻辑，文章层次分明，语言准确，文字流畅，符合规范化要求，书写工整或用计算机打印成文；图纸工整、清晰结构合理，层次较为分明，文理通顺，基本达到规范化要求，书写比较工整；图纸比较工整、清晰结构基本合理，逻辑基本清楚，文字尚通顺，勉强达到规范化要求；图纸比较工整内容空泛，结构混乱，文字表达不清，错别字较多，达不到规范化要求；图纸不工整或不清晰指导教师评定成绩：指导教师签名：年月日3重庆大学本科学生课程设计任务书课程设计题目倒立摆系统的控制器设计学院自动化学院专业自动化年级已知参数和设计要求：M：小车质量1.096kgm：摆杆质量0.109kgb：小车摩擦系数0.1N/secl：摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI：摆杆惯量0.0034kgm2利用根轨迹法设计控制器,使得校正后系统的性能指标满足:调整时间误差带）%(.250sts最大超调量%10%p利用频率特性法设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：(1)系统的静态位置误差常数为10；(2)相位裕量为50；(3)增益裕量等于或大于10分贝。设计或调整PID控制器参数，使得校正后系统的性能指标满足：调整时间误差带）%2(2sts最大超调量%15%p学生应完成的工作：1、利用设计指示书中推导的模型及任务书中的实际参数，建立小车倒立摆的实际数学模型。2、进行开环系统的时域分析。3、利用根轨迹法设计控制器，进行闭环系统的仿真分析。4、利用频域法设计控制器，进行闭环系统的仿真分析。5、设计PID控制器，进行闭环系统的仿真分析。6、完成课程设计报告。4参考资料：1、涂植英，陈今润.自动控制原理.重庆:重庆大学出版社,20052、胡寿松.自动控制原理.北京:科学出版社,20013、KatsuhikoOgata.现代控制工程.北京:电子工业出版社,20034、固高科技有限公司.直线倒立摆安装与使用手册R1.0,20055、固高科技有限公司.倒立摆与自动控制原理实验,20056、Matlab/Simulink相关资料课程设计的工作计划：1、参考相关资料，消化设计内容（2天）；2、按要求完成设计任务（5天）；3、按课程设计的规范要求撰写设计报告（2天）；4、课程设计答辩（1天）。任务下达日期2010年12月27日完成日期2011年1月7日指导教师（签名）学生（签名）5目录1倒立摆系统的概述……………………………………………………….72数学模型的建立………………………………………………………….82.1什么是数学模型的建立…………………………………………….82.2小车倒立摆系统实际数学模型的建立…………………………….83小车倒立摆系统开环系统响应分析…………………………………….124根轨迹控制器的设计5频域法控制器的设计6PID控制器的设计7总结6倒立摆系统的控制器设计1：倒立摆系统概述倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学和科研中控对象，运用控制手段可使之具有良好的稳定性。通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。控制理论在当前的工程技术界，主要是如何面向工程实际、面向工程应用的问题。一项工程的实施也存在一种可行性的试验问题，用一套较好的、较完备的试验设备，将其理论及方法进行有效的检验，倒立摆可为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。在教学过程中，不但使学生具有扎实的理论基础，还应掌握如何把理论知识应用到一个复杂的实际系统中，进一步达到提高教学质量的目的。在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆系统作为一个控制装置，结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等多种理论和方法，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理7论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。用现代控制理论中的状态反馈方法来实现倒立摆系统的控制，就是设法调整闭环系统的极点分布，以构成闭环稳定的倒立摆系统，它的局限性是显而易见的。只要偏离平衡位置较远，系统就成了非线性系统，状态反馈就难以控制。实际上，用线性化模型进行极点配置求得的状态反馈阵，不一定能使倒立摆稳定竖起来，能使倒立摆竖立起来的状态反馈阵是实际调试出来的，这个调试出来的状态反馈阵肯定满足极点配置。这就是说，满足稳定极点配置的状态反馈阵很多，而能使倒立摆稳定竖立的状态反馈阵只有很少的一个范围，这个范围要花大量的时间去寻找。2：数学模型的建立2.1什么是数学模型的建立系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。2.2小车倒立摆实际数学模型的建立一：一级倒立摆动力学方程的建立(微分法)由于状态反馈要求被控系统是一个线性系统，而倒立摆系统本身是一个非线性的系统，因此用状态反馈来控制倒立摆系统首先要将这个非线性系统8近似成为一个线性系统。在忽略了空气流动和各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2-1所示。图2-1一级倒立摆系统运动示意图M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置Φ摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正）θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）图2-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而9矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。图2-2小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：(1)合并可得：(2)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：合并得到力矩平衡方程如下：(3)设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角）假设与1（单位是弧度）10相比很小，即1，则可以进行线性化近似处理：0)(,sin,1cos2dtd用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程（即将上述等式带入②和③）如下：(4)进行拉氏变换，得：)()()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXmMssmlXsmglssmlI(5)由于输出为角度，求解方程组的第一个方程，可以得到：)()()(22ssgmlmlIsX，即：mglsmlImlssXs222)()()((6)(6)式称为摆杆角度与小车位移的传递函数。如令xv，则有：mglsmlImlsVs22)()()((7)(7)式称为摆杆角度与小车加速度间的传递函数，由于伺服电机的速度控制易于实现，在实验中常采用此式。把(4)式代入(5)式的第二个方程中，得到：)()()(()()()(22222sUssmlsssgmlmlIbsssgmlmlImMqbmglsqmglmMsqmlIbssqmlsUs)()()()(223(8)其中，])ml()mlI)(mM[(q22(8)式称为摆杆角度与外加作用力间的传递函数二：实际系统的数学模型实际系统的模型参数如下:11M小车质量1.096Kgm摆杆质量0.109Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.0034kg*m*m把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。则有摆杆角度和小车加速度的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(2ssVs3系统阶跃响应分析上面已经得到系统的状态方程，先对其进行阶跃响应分析。在MATLAB中键入以下命令：clc;A=[0100;0000;0001;0029.40];B=[0103]';C=[1000;0100];D=[00]';step(A,B,C,D)得到如图3的结果：12图3系统状态方程的阶跃响应曲线可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。4根轨迹控制器的设计4.1根轨迹分析前面我们已经得到了倒立摆系统的开环传递函数，输入为小车的加速度，输出为倒立摆系统摆杆的角度，被控对象的传递函数为：mglsmlImlsVs22)()()(给系统施加脉冲扰动，输出量为摆杆的角度时，系统框图如下图4-1直线一级倒立摆闭环系统图（脉动干扰）考虑到输入r(s)=0，结构图变换成13图4-2直线一级倒立摆闭环系统简化图（脉动干扰）该系统的输出为：其中num——被控对象传递函数的分子项；den——被控对象传递函数的分母项；munlead、denlead——控制器超前环节传递函数的分子项；numlag、denlag——控制器滞后环节传递函数的分子项和分母项；k——控制器增益闭环传递函数可以由Matlab命令求出。实际系统的开环传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(2ssVs在MATLAB下新建一个文件，键入如下命令：clear;num=[0.02725];den=[0.01021250-0.26705];rlocus(num,den)z=roots(num)p=roots(den)得到结果如下：14z=Emptymatrix:0-by-1p=5.1136-5.1136可以看出，系统有两个零点，有两个极点，并且有一个极点为正。画出系统闭环传递函数的根轨