现代控制理论-3

现代控制理论基础13线性控制系统的能控性和能观测性3.1能控性和能观测性的概念3.2连续时间线性定常系统的能控性3.3连续时间线性定常系统的能观测性3.4离散时间线性定常系统的能控性和能观测性3.5连续时间线性时变系统的能控性和能观测性3.6线性系统能控性与能观测性的对偶关系3.7能控标准形和能观测性标准形3.8传递函数中零极点对消与状态能控性和能观测性的关系3.9线性系统结构按能控性和能观测性的分解现代控制理论基础23.1能控性和能观测性的概念能控性已知系统的当前时刻及其状态，研究是否存在一个容许控制，使得系统在该控制的作用下在有限时间内到达希望的特定状态。能观测性已知系统及其在某时间段上的输出，研究可否依据这一时间段上的输出确定系统这一时间段上的状态。能控性和能观测性是现代控制理论中两个基础性概念，由卡尔曼（R.E.Kalman）于1960年首次提出。u(t)能否引起x(t)的变化？y(t)能否反映x(t)的变化？现代控制理论基础33.1能控性和能观测性的概念一个RC网络。图中RC网络的输入端是电流源i，输出端开路。取电容C1和C2上的电压v1和v2为该系统的两个状态变量。1R2R2C1C3Ryi回路I回路IIv1是能控的v2是不能控的V2是能观测的v1是不能观测的现代控制理论基础43.1能控性和能观测性的概念控制器uyxyCxxAx+BuˆxuyxyCxxAx+Bu控制器状态估计器在最优控制问题中，其任务是寻求输入u(t)使状态轨迹达到最优，则要求状态能控。但状态x(t)的值通常是难以直接测量的，往往需要从测得的输出y(t)中估计出来。现代控制理论基础53.1能控性和能观测性的概念11221210002210xxuxxxyx1122122xxxxuyx例分析如下系统的能控性和能观测性解将其表示为标量方程组的形式表明系统的状态是不能控和不能观测的。输入u不能控制状态变量x1，故x1是不能控的输出y不能反映状态变量x2，故x2是不能观测的现代控制理论基础63.1能控性和能观测性的概念11221210101111xxuxxxyx112212xxuxxuyxx例分析如下系统的能控性和能观测性解将其表示为标量方程组的形式实际上，系统的状态既不是完全能控的，也不是完全能观测的。所有状态变量都是能控和能观测的？现代控制理论基础73.2连续时间线性定常系统的能控性xAx+Bu如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间[t0,tf]内使得系统的某一初始状态x(t0)转移到指定的任一终端状态x(tf)，则称初始状态x(t0)是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，或简称是能控的。P1P2PnP1x2x状态平面中点P能在u(t)作用下被驱动到任一指定状态P1,P2,∙∙∙,Pn，则点P是能控的状态。假如“能控状态”充满整个状态空间,则该系统是状态完全能控的。由此可看出，系统中某一状态能控和系统状态完全能控在含义上是不同的。3.2.1状态能控性定义定义对于连续时间线性定常系统现代控制理论基础83.2连续时间线性定常系统的能控性能控性和能达性问题(1)能控性定义：对于给定连续时间线性定常系统xAx+Bu若存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间[t0,tf]内，将系统从任一初始状态x(t0)转移到原点，即x(tf)＝0，则称系统是状态完全能控的。(2)能达性定义：对于给定连续时间线性定常系统xAx+Bu若存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间[t0,tf]内，将状态x(t)从原点转移到任一指定的终端（目标）状态x(tf)，则称系统是能达的。对线性定常系统，能控性和能达性是完全等价的。分析状态能控性问题时Σ(A,B)xAx+Bu简记为现代控制理论基础93.2连续时间线性定常系统的能控性3.2.2状态能控性的判别准则21ncQBABABAB定理3.1对于n阶连续时间线性定常系统Σ(A,B)，其状态完全能控的充分条件时由A，B阵所构成的能控性判别矩阵rankcnQ满秩，即证明(1)能控性判别准则一dueetttt0)()()0()(BxxAA因为0)()0()(0)(1dueetttt111BxxAA根据能控性定义，在终态时刻t1，有x(t1)=0所以duduetnnt11101-100)(])()()([)()0(BAAIBxA现代控制理论基础103.2连续时间线性定常系统的能控性dutnn1101-10)(])()()([)0(BAAIxdududutnttn111101-0100)()([)()([)()([][BAABB1-10][nnBAABB1对于任意给定的x(0)，能够唯一解出i（或u）的条件是：21ncQBABABABrankcnQ满秩，即现代控制理论基础113.2连续时间线性定常系统的能控性211010uxx例试判别如下连续时间线性定常系统的能控性。12[]00cQBAB解构造能控性判别矩阵rank1cnQ这是一个奇异阵，即所以该系统不是状态完全能控的，即系统状态不能控。01[]10cQBAB解系统的能控性判别矩阵为所以该系统是状态完全能控的。010101uxx例试判别如下连续时间线性定常系统的能控性。rank2cnQ因为，所以0100110现代控制理论基础123.2连续时间线性定常系统的能控性解该系统的能控性判别矩阵为因为rank[Qc]=1n，所以该系统不是状态完全能控的。该系统是由两个结构上完全相同，且又不是相互独立的一阶系统组成的。显然，只有在其初始状态x1(t0)和x2(t0)相同的条件下，才存在某一u(t)，将x1(t0)和x2(t0)在有限时间内转移到状态空间原点。否则是不可能的。例试判别连续时间线性定常系统的状态能控性。u111001xx1111ABBQc现代控制理论基础13而|Qc|≠0表示矩阵Qc=[bAb…An-1b]有且仅有n个线性无关的列，也就是Qc的秩为n，即必须是非奇异矩阵，换句话说，矩阵Qc的逆存在，即3.2连续时间线性定常系统的能控性1[]ncQbAbAb0cQ1rank[]nnbAbAbrankrankTcccQQQ推论对于单输入情况，若可求得到相应的控制作用u，使状态变量从任意x0转移到原点，则矩阵因此，可以把|Qc|≠0作为单输入情况下的能控性判据。对于多输入情况，Qc不是方阵，不能用此结论。但有因此，可以把|QcQcT|≠0作为多输入系统的能控性判据。现代控制理论基础143.2连续时间线性定常系统的能控性12110010101001101uuxx例试判别三阶双输入系统的状态能控性。rank23cnQ观察Qc第一行和第三行完全相同，显见所以该系统是不能控的。解首先构造能控性判别矩阵121010121110101110][2BAABBQcrank23TccQQ容易得到838333838TccQQ现代控制理论基础153.2连续时间线性定常系统的能控性线性非奇异变换不改变系统的能控性通过线性变换把矩阵A化成约当标准形，然后根据这一标准形来判别系统的能控性。][BAABBQ1nc证明系统Σ(A,B)的能控性判断阵为）（BA~,~系统的能控性判断阵为]~~~~~[~BABABQ1nc])([BPAPPBAPPPBP111111n][BAABBP11ncQP1cQ~因是P-1满秩的，所以的秩与Qc的秩相同。(2)能控性判别准则二现代控制理论基础163.2连续时间线性定常系统的能控性12nxxBu00定理3.2若系统Σ(A,B)具有互异的特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是经线性变换后的对角标准形阵中不包含元素全为零的行。B定理3.3若系统Σ(A,B)具有互异的重特征值，则系统状态完全能控的充分必要条件，是经线性变换的约当标准形xAxBu12lJJAJ00与每个约当块Ji对应的i的最后一行的元素不全为零。B其中lBBBB~~~~21现代控制理论基础173.2连续时间线性定常系统的能控性例试判别以下连续时间线性定常系统的能控性。12700270001(I)0505(III)050400017001757000700(II)0505(IV)0500017001uuuuxxxxxxxx12004075uu解A阵具有互不相同的特征值。系统(I)和(III)是能控的。其特征值相同，尽管b阵的元素不为零，但系统状态不能控。注意：特征值互不相同条件。某些具有重特征值的矩阵，也能化成对角线标准形。因为rank[Qc]=1n1111ABBQcu111001xx现代控制理论基础183.2连续时间线性定常系统的能控性例试判断以下连续时间线性定常系统的能控性。解系统(I)和(III)是状态完全能控的，而系统(II)和(IV)因对应约当小块最后一行存在元素为零的行，故状态不完全能控。注意：特征值互不相同条件uxx200210300130003180602012182602903010BAABBQ2c第一行与第三行成比例现代控制理论基础193.2连续时间线性定常系统的能控性定理3.3（附）若系统Σ(A,B)具有相同的重特征值，则系统状态完全能控的充分必要条件，是经线性变换的约当标准形xAxBu12lJJAJ00相同特征值下的约当块Ji对应的i的最后一行线性无关。B其中例试判断以下连续时间线性定常系统的能控性。lBBBB~~~~21J1J2B2uxx200210300130003B1B1和B2的最后一行成比例，不是线性无关的，所以不能控。现代控制理论基础203.2连续时间线性定常系统的能控性具有相同特征值的线性变换举例u321100010542xx特征值为1)(1)(2)(100010542)(AI1=2时1312111312111312111ppppppppp100010542A0011312111pppP任选2=1时2322212322212322212ppppppppp100010542A0542232221ppp014/22P任选105/23P任