数据结构(严蔚敏)课件第6章

2020年9月15日星期二第1页第六章树和二叉树2020年9月15日星期二第2页【课前思考】1.你见过家族谱系图吗？试以图形表示从你的祖父起的家族成员关系。2.这类图形正是本章要讨论的树结构，你试用关系(即有序对的集合)表示上列的家族谱系图。上列家族谱系图可用如下关系表示：祖父，伯父，祖父，父亲，祖父，叔父，伯父，堂兄，伯父，堂姐，父亲，你，叔父，堂弟，堂兄，侄儿2020年9月15日星期二第3页【学习目标】1．领会树和二叉树的类型定义，理解树和二叉树的结构差别。2．熟记二叉树的主要特性，并掌握它们的证明方法。3．熟练掌握二叉树的各种遍历算法，并能灵活运用遍历算法实现二叉树的其它操作。4．理解二叉树的线索化过程以及在中序线索化树上找给定结点的前驱和后继的方法。5．熟练掌握二叉树和树的各种存储结构及其建立的算法。6．学会编写实现树的各种操作的算法。7．了解最优树的特性，掌握建立最优树和赫夫曼编码的方法。2020年9月15日星期二第4页【重点和难点】二叉树和树的遍历及其应用是本章的学习重点，而编写实现二叉树和树的各种操作的递归算法也恰是本章的难点所在。【知识点】树的类型定义、二叉树的类型定义、二叉树的存储表示、二叉树的遍历以及其它操作的实现、线索二叉树、树和森林的存储表示、树和森林的遍历以及其它操作的实现、最优树和赫夫曼编码2020年9月15日星期二第5页【学习指南】本章是整个课程的第二个学习重点，也是整个课程中的一大难点。在本章的学习过程中主要应该学会如何根据二叉树和树的结构及其操作的递归定义编写递归算法。本章必须完成的算法设计题为:6.27,6.28,6.33,6.41,6.43,6.45,6.46,6.47,6.49,6.50,6.51,6.57,6.59,6.68和6.66。2020年9月15日星期二第6页6.1树的类型定义6.2二叉树的类型定义6.3二叉树的存储结构6.4二叉树的遍历6.5线索二叉树6.6树和森林的表示方法6.7树和森林的遍历6.8哈夫曼树与哈夫曼编码2020年9月15日星期二第7页6.1树的类型定义树是由n（n≥0）个结点组成的有限集合。若n=0，称为空树；若n0，则：（1）其中必有一个称为根（root）的特定结点，它没有直接前驱，但有零个或多个直接后继；（2）除根结点以外的其它n-1结点可以划分为m（m≥0）个互不相交的有限集合T0，T1，…，Tm-1，每个集合Ti（i=0,1,…,m-1）又是一棵树，称为根的子树，每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但可以有0个或多个直接后继。由此可知，树的定义是一个递归的定义，即树的定义中又用到了树的概念。2020年9月15日星期二第8页ADTTree{数据对象D：D是具有相同特性的数据元素的集合。若D为空集，则称为空树。否则:(1)在D中存在唯一的称为根的数据元素root；(2)当n1时，其余结点可分为m(m0)个互不相交的有限集T1,T2,…,Tm，其中每一棵子集本身又是一棵符合本定义的树，称为根root的子树。数据关系R：2020年9月15日星期二第9页基本操作：查找类插入类删除类}ADTTree2020年9月15日星期二第10页Root(T)//求树的根结点查找类：Value(T,cur_e)//求当前结点的元素值Parent(T,cur_e)//求当前结点的双亲结点LeftChild(T,cur_e)//求当前结点的最左孩子RightSibling(T,cur_e)//求当前结点的右兄弟TreeEmpty(T)//判定树是否为空树TreeDepth(T)//求树的深度TraverseTree(T,Visit())//遍历2020年9月15日星期二第11页InitTree(&T)//初始化置空树插入类：CreateTree(&T,definition)//按定义构造树Assign(T,cur_e,value)//给当前结点赋值InsertChild(&T,&p,i,c)//将以c为根的树插入为结点p的第i棵子树2020年9月15日星期二第12页ClearTree(&T)//将树清空删除类：DestroyTree(&T)//销毁树的结构DeleteChild(&T,&p,i)//删除结点p的第i棵子树2020年9月15日星期二第13页ABCDEFGHIJMKLA(B(E,F(K,L)),C(G),D(H,I,J(M)))T1T3T2树根例如:2020年9月15日星期二第14页(１)有确定的根；(２)树根和子树根之间为有向关系。有向树：有序树：子树之间存在确定的次序关系。无序树：子树之间不存在确定的次序关系。2020年9月15日星期二第15页对比树型结构和线性结构的结构特点一棵树的逻辑结构可以用二元组描述为：tree=(k,R)k={ki∣1≤i≤n;n≥0,kielemtype}R={r}其中，n为树中结点个数，若n=0，则为一棵空树，n0时称为一棵非空树，而关系r应满足下列条件：（1）有且仅有一个结点没有前驱,称该结点为树根;（2）除根结点以外,其余每个结点有且仅有一个直接前驱;（3）树中每个结点可以有多个直接后继(孩子结点)。2020年9月15日星期二第16页线性结构树型结构第一个数据元素(无前驱)根结点(无前驱)最后一个数据元素(无后继)多个叶子结点(无后继)其它数据元素(一个前驱、一个后继)其它数据元素(一个前驱、多个后继)2020年9月15日星期二第17页基本术语2020年9月15日星期二第18页结点:结点的度:树的度:叶子结点:分支结点:数据元素+若干指向子树的分支分支的个数树中所有结点的度的最大值度为零的结点度大于零的结点HIJMDD2020年9月15日星期二第19页(从根到结点的)路径：孩子结点、双亲结点兄弟结点、堂兄弟祖先结点、子孙结点结点的层次:树的深度：由从根到该结点所经分支和结点构成ABCDEFGHIJMKL假设根结点的层次为1，第l层的结点的子树根结点（即孩子结点）的层次为l+1树中叶子结点所在的最大层次2020年9月15日星期二第20页任何一棵非空树是一个二元组Tree=（root，F）其中：root被称为根结点F被称为子树森林森林：是m（m≥0）棵互不相交的树的集合ArootBCDEFGHIJMKLF2020年9月15日星期二第21页6.2二叉树的类型定义2020年9月15日星期二第22页二叉树或为空树，或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不交的二叉树组成。ABCDEFGHK根结点左子树右子树2020年9月15日星期二第23页二叉树的特点：（1）每个结点的度都不大于2，即每个结点的度为0、1或2；（2）每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。即每个孩子有左右之分。我们把位于左边的孩子叫做左孩子，位于右边的孩子叫做右孩子。2020年9月15日星期二第24页二叉树的五种基本形态：N空树只含根结点NNNLRR右子树为空树L左子树为空树左右子树均不为空树2020年9月15日星期二第25页二叉树的主要基本操作：查找类插入类删除类2020年9月15日星期二第26页Root(T);Value(T,e);Parent(T,e);LeftChild(T,e);RightChild(T,e);LeftSibling(T,e);RightSibling(T,e);BiTreeEmpty(T);BiTreeDepth(T);PreOrderTraverse(T,Visit());InOrderTraverse(T,Visit());PostOrderTraverse(T,Visit());LevelOrderTraverse(T,Visit());查找类2020年9月15日星期二第27页InitBiTree(&T);Assign(T,&e,value);CreateBiTree(&T,definition);InsertChild(T,p,LR,c);插入类2020年9月15日星期二第28页ClearBiTree(&T);DestroyBiTree(&T);DeleteChild(T,p,LR);删除类2020年9月15日星期二第29页二叉树的重要特性2020年9月15日星期二第30页性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点。(i≥1)用归纳法证明：归纳基：归纳假设：归纳证明：i=1层时，只有一个根结点：2i-1=20=1；假设对所有的j，1≤ji，命题成立；二叉树上每个结点至多有两棵子树，则第i层的结点数=2i-22=2i-1。2020年9月15日星期二第31页性质2：深度为k的二叉树上至多含2k-1个结点（k≥1）。证明：基于上一条性质，深度为k的二叉树上的结点数至多为20+21++2k-1=2k-1。2020年9月15日星期二第32页性质3：对任何一棵二叉树，若它含有n0个叶子结点、n2个度为2的结点，则必存在关系式：n0=n2+1。证明：设二叉树上结点总数n=n0+n1+n2又二叉树上分支总数(即边数)b=n1+2n2而n=b+1=b=n-1=n0+n1+n2-1由此，n0=n2+1。2020年9月15日星期二第33页两类特殊的二叉树：满二叉树：指的是深度为k且含有2k-1个结点的二叉树。完全二叉树：树中所含的n个结点和满二叉树中编号为1至n的结点一一对应。123456789101112131415abcdefghij满二叉树必为完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树。2020年9月15日星期二第34页性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n+1。证明：设完全二叉树的深度为k则根据第二条性质得2k-1-1n≤2k–1或2k-1≤n2k即k-1≤log2nk,log2nk≤log2n+1因为k只能是整数，因此，k=log2n+1。2020年9月15日星期二第35页性质5：若对含n个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行1至n的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为i的结点：(1)若i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，否则，编号为i/2的结点为其双亲结点；(2)若2in，则该结点无左孩子，否则，编号为2i的结点为其左孩子结点；(3)若2i+1n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为2i+1的结点为其右孩子结点。2020年9月15日星期二第36页可以用归纳法证明其中的（2）和（3）：当i=1时，由完全二叉树的定义知，如果2×i=2≤n，说明二叉树中存在两个或两个以上的结点，所以其左孩子存在且序号为2；反之，如果2n，说明二叉树中不存在序号为2的结点，其左孩子不存在。同理，如果2×i+1=3≤n，说明其右孩子存在且序号为3；如果3n，则二叉树中不存在序号为3的结点，其右孩子不存在。假设对于序号为j(1≤j≤i)的结点，当2×j≤n时，其左孩子存在且序号为2×j，当2×jn时，其左孩子不存在；当2×j+1≤n时，其右孩子存在且序号为2×j+1，当2×j+1n时，其右孩子不存在。2020年9月15日星期二第37页当i=j+1时，根据完全二叉树的定义，若其左孩子存在，则其左孩子结点的序号一定等于序号为j的结点的右孩子的序号加1，即其左孩子结点的序号等于（2×j+1）+1=2（j+1）=2×i，且有2×i≤n；如果2×in，则左孩子不存在。若右孩子结点存在，则其右孩子结点的序号应等于其左孩子结点的序号加1，即右孩子结点的序号为2×i+1，且有2×i+1≤n；如果2×i+1n，则右孩子不存在。故（2）和（3）得证。2020年9月15日星期二第38页由（2）和（3）我们可以很容易证明（1）。当i=1时，显然该结点为根结点，无双亲结点。当i1时，设序号为i的结点的双亲结点的序号为m，如果序号为i的结点是其双亲结点的左孩子，根据（2）有i=2×m，m=i/2;如果序号为i的结点是其双亲结点的右孩子，根据（3）有i=2×m+1，即m=（i-1）/2=i/2-1/2，综合这两种情况，可以得到，当i1时，其双亲结点的序