《探索全等三角形的条件》教案

《探索全等三角形的条件》教案教学目标(1)知识与技能：掌握三角形全等的“边边边”(“SSS”)判定方法，了解三角形的稳定性，会运用”SSS”判定方法证明两个三角形全等以及解决一些实际问题.掌握三角形全等的角边角(“ASA”)、角角边(“AAS”)和三角形全等的边角边(“SAS”)判定方法，解决实际问题.(2)过程与方法：经历探索三角形全等的条件的过程，通过动手实践探究问题、发现问题，培养动手实践、探究、归纳的能力和发展推理、论证合作能力.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理.(3)情感、态度与价值观：①使学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验.②通过实际生活中的有关三角形稳定性和全等的应用，让学生体验数学来源于生活，服务于生活的辩证思想，感受数学美.教学重点重点：掌握三角形全等的条件“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”，并能利用它们判定两三角形是否全等.教学难点难点：1、探索思路的选择和探索三角形全等的“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”条件的过程.2、三角形全等证明的书写格式.教学情境一、三角形全等的边边边“SSS”判定方法(一)创设情景，揭示课题1、已知：△ABC≌△DEF，你能找出其中相等的边与角吗？2、小明有一个三角形纸片，你能画一个三角形与它全等吗？如何画？与同伴交流你的画法？利用了两个三角形全等的定义来作图，需要知道六个条件.但是，是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少吗？一个条件行吗？两个条件、三个条件呢？(二)、讨论交流，实验探究1、探索三角形全等至少需要几个条件在前面讨论的基础上，提出以下问题：(1)只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，大家画出的三角形一定全等吗？(2)给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做.①三角形的一个内角为30°，一条边为3cm.②三角形的两个内角分别为30°和50°.③三角形的两条边分别为4cm、6cm.对于问题(1)，让学生在讨论的基础上，借助多媒体演示，让学生观察下列三角形：只给定一边：只给定一个角：然后通过比较，从而认识到：只给出一个条件时，不能保证所画出的三角形一定全等.对于问题(2)先讨论有几种情况，体会分类讨论的必要性，去解决(2)中的一个问题，再展示所画的三角形或用木棒所摆的三角形，并交流解决的方法及获得的结论.小组一：解决问题①，三角形的一个内角为30°，一条边为3厘米.画出的三角形几乎都不一样.结论：这三个三角形不全等.小组二：解决问题②，三角形的两个内角分别是30°和50°，画的三角形形状一样，但大小不一样.结论：这两个三角形不能重合，即不全等.小组三：解决问题③，三角形的两边分别为4cm、6cm，所画出的三角形也不全等.我们通过画图、观察、比较知道，只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等.那么给出三个条件时，又怎样呢？接着提出以下问题：如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？将要解决的问题转化为在三角形3个角和3条边中，从中取3个条件，有几种情况？2、探索三角形全等的条件：边、边、边思考下面两个问题：做一做：(1)已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°，80°.你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？(2)已知一个三角形的三条边分别为4cm、5cm和7cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，它们一定全等吗？对于问题(1)鼓励学生去思考，只要学生能列举出反例即可，多媒体演示下图：对于问题(2)交流画法，多媒体演示画法，然后去画，并将所画的三角形剪切与同伴的是否重合.在此基础上教师提出：你能发现什么结论？你是如何获得的？若改变三角形三边的取值，你能得到同样的结论吗？结所获得的结论和交流解决问题的方法，并展示所画三角形.结论：1、三个内角对应相等的两个三角形不一定全等.2、三边对应相等的两个三角形全等.简写为：“边边边”或“SSS”(三)联系生活，探究性质问题：取三根长度适当的木条，用钉子钉成一个三角形的框架，你所得到的框架的形状固定吗？用四根木条钉成的框架的形状固定吗？用细纸条代替木条.用大头针固定，做实验并交流自己的收获.展示所作的三角形、四边形，并交流所获得结论.结论：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.例1、在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的中线，△ABD与△ACD全等吗？为什么？二、三角形全等的角边角“ASA”、角角边“AAS”判定方法(一)巧设现实情景，引入新课我们知道，如果给出一个三角形三条边的长度，那么由此得到的三角形都是全等的.如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？(二)讲授新课下面动手做一做！如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边.如：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm，你能画出这个三角形吗？你画的与同伴的一定全等吗？如果改变角度与边长，能得到同样的结论吗？得到：已知一个三角形的两个内角及其夹边，那么由此得到的三角形都是全等的.由此我们得到了判定三角形全等的另一条件：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简写为“角边角”或“ASA”.如图，在△ABC和△DEF中.图FCEFBCEB△ABC≌△DEF.这是用符号语言来表示该三角形全等的条件.在“两角一边”中，除“两角及其夹边”外，还有哪种可能的情况呢？(两角及一角的对边.)已知一个三角形的两角及一角的对边的长度，由此得到的三角形都是全等的吗？我们再来画图、比较，做一做如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，如：三角形的两个角分别为60°和45°，一边长为3cm，情况会怎样呢？图(1)如果60°角所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗？与同伴比较是否全等？(2)如果45°角所对的边为3cm，那么按这个条件画出的三角形全等吗？已知两角及一角的对边画三角形时，不容易画，但如果把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”时，就可以了.那如何转化呢？因为三角形的内角和为180°，已知两个内角，那么第三个内角就可求出，这样就把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”.如果60°角所对的边为3cm时，画出的图形如下：图经比较：这样得到的三角形都全等.如果45°角所对的边为3cm时，画出的图形如下.图经比较：这样条件的所有三角形都全等.即：“两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等”成立吗？改变角度及边长，你能得到同样的结论吗？结论：不管两个角的角度及一边长如何变化，只要已知一组值，就能得到三角形全等.即两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.简称“角角边”或“AAS”.例2、如图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC与△BOD全等吗？为什么？图练习、如图.在△ABC和△DEF中.图DFACFCEB△ABC≌△DEF.三、三角形全等的边角边“SAS”判定方法(一)、复习提问1．怎样的两个三角形是全等三角形？2．全等三角形的性质？3．指出图中各对全等三角形的对应边和对应角，并说明通过怎样的变换能使它们完全重合：图(1)中：△ABD≌△ACE，AB与AC是对应边；图(2)中：△ABC≌△AED，AD与AC是对应边．二、新课1．三角形全等的判定(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等”的性质．那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO．如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．(附注：此外，还可以图1(1)中的△ACE绕着点A逆时针方向旋转∠CAB的度数，也将与△ABD重合．图1(2)中的△ABC绕着点A旋转，使AB与AE重合，再把△ADE沿着AE(AB)翻折180°．两个三角形也可重合)由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等．而且，从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图：①画∠DAE＝45°，②在AD、AE上分别取B、C，使AB＝3.1cm，AC＝2.8cm．③连结BC，得△ABC．④按上述画法再画一个△A＇B＇C＇．(2)把△A＇B＇C＇剪下来放到△ABC上，观察△A＇B＇C＇与△ABC是否能够完全重合？3．边角边公理．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)例3、已知AB与CD相交于点O，OA=OB，OD=OC，△AOD与△BOC全等吗？请说明理由.例4、已知如课本图，已知△ABC≌△A1B1C1D与D1分别是BC，B1C1上的一点，且BD=B1D1.AD与A1D1相等吗？为什么？练习：1.已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点．求证：△ABE≌△ACF．2．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．课程小结1、①只给一个条件或两个条件时，都不能保证两三角形全等；②三个内角对应相等的两个三角形不一定全等；③三边对应相等的两个三角形相等，简写为“边边边”或“SSS”；④三角形具有稳定性.2、我们又探索出两个三角形全等的条件，到现在为止，我们有以下几种方法可得到两个三角形全等.三角形全等的条件：AASASASSS注意：要判定两个三角形全等时，边和角“对应相等”，而不是“分别相等”即：两个三角形中相等的边和角必须有相同的顺序.3、根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．4、找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．5、证明的书写格式：(1)通过证明，先把题设中的间接条件转化成为可以直接用于判定三角形全等的条件；(2)再写出在哪两个三角形中：具备按边角边的顺序写出可以直接用于判定全等的三个条件，并用括号把它们括起来；(3)最后写出判定这两个三角形全等的结论．课后作业课本课后习题