自动控制原理习题及解答

自动控制原理习题及其解答第一章（略）第二章例2-1弹簧，阻尼器串并联系统如图2-1示，系统为无质量模型，试建立系统的运动方程。解：(1)设输入为yr，输出为y0。弹簧与阻尼器并联平行移动。(2)列写原始方程式，由于无质量按受力平衡方程，各处任何时刻，均满足0F，则对于A点有021KKfFFF其中，Ff为阻尼摩擦力，FK1，FK2为弹性恢复力。(3)写中间变量关系式0220110)()(yKFYYKFdtyydfFKrKrf(4)消中间变量得020110yKyKyKdtdyfdtdyfrr(5)化标准形rrKydtdyTydtdyT00其中:215KKT为时间常数，单位[秒]。211KKKK为传递函数，无量纲。例2-2已知单摆系统的运动如图2-2示。(1)写出运动方程式(2)求取线性化方程解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆角，摆球质量为m。（2）由牛顿定律写原始方程。hmgdtdlmsin)(22其中，l为摆长，l为运动弧长，h为空气阻力。（3）写中间变量关系式)(dtdlh式中，α为空气阻力系数dtdl为运动线速度。（4）消中间变量得运动方程式图2-2单摆运动0sin22mgdtdaldtdml（2-1)此方程为二阶非线性齐次方程。（5）线性化由前可知，在＝0的附近，非线性函数sin≈，故代入式（2-1）可得线性化方程为022mgdtdaldtdml例2-3已知机械旋转系统如图2-3所示，试列出系统运动方程。解：（1）设输入量作用力矩Mf，输出为旋转角速度。（2）列写运动方程式fMfdtdJ式中，f为阻尼力矩，其大小与转速成正比。（3）整理成标准形为fMfdtdJ此为一阶线性微分方程，若输出变量改为，则由于dtd代入方程得二阶线性微分方程式fMdtdfdtdJ22例2-4设有一个倒立摆安装在马达传动车上。如图2-4所示。图2-3机械旋转系统倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒，这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。解：(1)设输入为作用力u，输出为摆角。(2)写原始方程式，设摆杆重心A的坐标为（XA，yA）于是XA＝X＋lsinXy=lcos画出系统隔离体受力图如图2－5所示。摆杆围绕重心A点转动方程为：cossin22HlVldtdJ（2－2）式中，J为摆杆围绕重心A的转动惯量。图2-4倒立摆系统图2-5隔离体受力图摆杆重心A沿X轴方向运动方程为：HdtxdmA22即Hlxdtdm)sin(22（2－3）摆杆重心A沿y轴方向运动方程为：mgVdtydmA22即mgVldtdm)cos(22小车沿x轴方向运动方程为：HudtxdM22方程（2－2），方程（2－3）为车载倒立摆系统运动方程组。因为含有sin和cos项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。(3)当很小时，可对方程组线性化，由sin≈，同理可得到cos≈1则方程式(2－2)式（2－3）可用线性化方程表示为：HudtxdMmgVHdtdmldtxdmHlVldtdJ222222220用222dtdS的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、H、X得ugmMsJmlmMMl)()(2将微分算子还原后得udtdgmMdtdlJmlMJMl)()(22此为二阶线性化偏量微分方程。例2-5RC无源网络电路图如图2－6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc(s)/Ur(s)。解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系，满足广义的欧姆定律。即：)()()(sZsIsU如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z(s)分别是R、1/Cs或Ls。(1)用复阻抗写电路方程式：sCSISVRSUSUSIsCSISISURSUSUSIccccCr222221212111111)()(1)]()([)(1)]()([)(1)]()([)((2)将以上四式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2－6（a）。(3)用结构图化简法求传递函数的过程见图2－6（c）、(d)、(e)。(4)用梅逊公式直接由图2－6(b)写出传递函数Uc(s)/Ur(s)。KGGK独立回路有三个：图2-6RC无源网络图2-6RC无源网络结构图（a）（b）（c）（d）SCRSCRL1111111SCRSCRL22222111SCRRSCL12213111回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则2221121121SCRCRLLL由上式可写出特征式为：222111222112132111111)(1SCRCRSCRSCRSCRLLLLL通向前路只有一条221212211111111SCCRRSCRSCRG由于G1与所有回路L1，L2，L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为Δ1=1代入梅逊公式得传递函数1)(111111121221122121222111222112221111sCRCRCRsCCRRsCRCRsCRsCRsCRsCRCRGG例2-6有源网络如图2－7所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直接用于图2－8所示PI调节器，写出传递函数。解：图2-7中Zi和Zf表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，假设A点为虚地，即UA≈0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是：I1=I2则有：)()()()()()(21sZsIsUsZsIsUfcii故传递函数为图2-8PI调节器图2-7有源网络)()()()()(sZsZsUsUsGific（2－4）对于由运算放大器构成的调节器，式（2－4）可看作计算传递函数的一般公式，对于图2-8所示PI调节器，有1)(RsZiCSRsZf1)(2故CSRCSRRCSRsZsZsGif121211)()()(例2-7求下列微分方程的时域解x（t）。已知3)0(,0)0(xx。06322xdtdxdtxd解：对方程两端取拉氏变换为：0)(6)0(3)(3)0()0()(2sXxsSXxSxsXS代入初始条件得到3)()63(2sXSS解出X（s）为：222)215()5.1(215532633)(SSSsX反变换得时域解为：)215sin(532)(5.1tetxt例2-8已知系统结构图如图2-9所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。解：（1）首先将含有G2的前向通路上的分支点前移，移到下面的回环之外。如图2-10（a）图2-10系统结构图的简化图2-9系统结构图所示。（2）将反馈环和并连部分用代数方法化简，得图2-10（b）。（3）最后将两个方框串联相乘得图2-10（c）。例2-9已知系统结构图如图2-11所示，试用化简法求传递函数C(s)/R(s)。解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图2-12（a）的形式。（2）将小前馈并联支路相加，得图2-12（b）。（3）先用串联公式，再用并联公式将支路化简为图2-12（c）。例2-10已知机械系统如图2-13（a）所示，电气系统如图2-13（b）所示，试画出两系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。解：（1）若图2-13（a）所示机械系统的运动方程，图2-11系统结构图图2-12系统结构图图2-13系统结构图（a）机械系统（b）电气系统遵循以下原则并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同，串联元件各元件受力相同，总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为：yKFyxfFxxKxxfFFFii202010121)()()(取拉氏变换，并整理成因果关系有：)()(1)()(1)()]()()[(()(202011sysFsfsxsFKsySxsxKsfsFi画结构图如图2－14：求传递函数为：skfskfskfskfskfsfksfksfksfksXsXi1222112211221122110)1)(1()1)(1()11)((1)11)(()()(（2）写图2-13（b）所示电气系统的运动方程，按电路理论，遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和，可见，电压与位移互为相似量电流与力互为相似量。运动方程可直接用复阻抗写出：)()()]()([1)()]()([()]()([1)()(2220201121sEsCsIsEsERsIsEsEsCsEsERsIsIsICciii整理成因果关系：图2-14机械系统结构图)()()(1)()]()()[(1()(22022011sEIRsEsISCsEsEsEsCRsICci画结构图如图2-15所示：求传递函数为：SCRsCRSCRSCRSCRSCRSCRSCRsCRsEsEi2122112211221122110)1)(1()1)(1()1)(11(1)1)(1()()(对上述两个系统传递函数，结构图进行比较后可以看出。两个系统是相似的。机一电系统之间相似量的对应关系见表2-1。表2-1相似量机械系统xix0yFF1F2K11/K2f1f2电气系统eie0ec2iii1/RRC1C2例2-11RC网络如图2-16所示，其中u1为网络输入量，u2为网络输出量。（1）画出网络结构图；（2）求传递函数U2(s)/U1(s)。解：（1）用复阻抗写出原始方程组。输入回路sCIIIRU2211111)(输出回路sCIIIRU2212221)(中间回路21211)1(IsCRRI（3）整理成因果关系式。sCIIURI2211111)(11121112sCRsCRII图2-15电气系统结构图图2-16RC网络sCIIIRU2212221)(即可画出结构图如图2-17所示。（4）用梅逊公式求出：33221112GGGUUsCsCRsCsCRRsCRsCsCsCRsCsCR2121212121212121111111111)(1)(1112212212112122121sCRCRCRsCCRRsCRRsCCRR例2-12已知系统的信号流图如图2-18所示，试求传递函数C(s)/R(s)。解：单独回路4个，即21321GGGGGLa两个互不接触的回路有4组，即321323121GGGGGGGGGLLcb三个互不接触的回路有1组，即321GGGLLLfed于是，得特征式为3213231213212211GGGGGGGGGGGGLLLLLLfedcba从源点R到阱节点C的前向通路共有4条，其前向通路总增益以及余因子式分别为KGGGP321111KGGP322121GKGGP313231GKGGGP321414图2-17网络结构图图2-18信号流图因此，传递函数为44332211)()(PPPPsRsC321323121321231132221)1()1(GGGGGGGGGGGGGKGGGKGG第三章例3-1系统的结构图如图3-1所示。已知传递函数)12.0/(10)(ssG。