相似三角形难题集锦(含答-案)

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？二、构造相似辅助线——双垂直模型7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）A.B.C.D.10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。三、构造相似辅助线——A、X字型11.如图：△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。求证：12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。求证：13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：(1)当时，EF=；(2)当时，EF=；(3)当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明．四、相似类定值问题16.如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F．求证：．17.已知：如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。求证：．18.如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。求证：．五、相似之共线线段的比例问题2.如图，已知ΔABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证：DE2=EG•EH23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证：六、相似之等积式类型综合25.已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。求证：27.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.（1）求证：.（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由.28.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：．29.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH32.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：答案：1.答案：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4∴AB=5又∵AD=AB，AD=5t∴t=1，此时CE=3，∴DE=3+3-5=1（2）如图当点D在点E左侧，即：0≦t≦时，DE=3t+3-5t=3-2t．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：①△DEG∽△ACB，此时，即：，求得：t=；②△DEG∽△BCA，此时，即：，求得：t=；如图，当点D在点E右侧，即：t时，DE=5t-(3t+3)=2t-3．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：③△DEG∽△ACB，此时，即：，求得：t=；④△DEG∽△BCA，此时，即：，求得：t=．综上，t的值为或或或．3.答案：解：（1）证明：∵AD=CD∴∠A=∠ACD∵DE平分CDB交边BC于点E∴∠CDE=∠BDE∵∠CDB为△CDB的一个外角∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE∴∠ACD=∠CDE∴DE∥AC（2）①∠NCE=∠MBE∵EM⊥BD，EN⊥CD，∴△BME∽△CNE，如图∵∠NCE=∠MBE∴BD=CD又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∴AD=BD=AB∵在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8∴AB=10∴AD=5②∠NCE=∠MEB∵EM⊥BD，EN⊥CD，∴△BME∽△ENC，如图∵∠NCE=∠MEB∴EM∥CD∴CD⊥AB∵在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8∴AB=10∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB∴△ACD∽△ABC∴∴综上：AD=5或时，△BME与△CNE相似．4.答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，当PQ∥BC时，，即：解得：（2）能，AP=cm或AP=20cm①△APQ∽△CBQ，则，即解得：或（舍）此时：AP=cm②△APQ∽△CQB，则，即解得：（符合题意）此时：AP=cm故AP=cm或20cm时，△APQ与△CQB能相似．5.答案：解：设运动时间为t，则DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t．（1）若△QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP，即：6-t=2t，t=2（符合题意）∴t=2时，△QAP为等腰直角三角形．（2）∠B=∠QAP=90°①当△QAP∽△ABC时，，即：，解得：（符合题意）；②当△PAQ∽△ABC时，，即：，解得：（符合题意）．∴当或时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．6.答案：解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB∴∵A（2，1），＝45°∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1∴D点坐标为（2，3）∴B点坐标为（1，3）∴此时正比例函数表达式为：y＝3x第二种情况，图象经过第二、四象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB∴∵A（2，1），＝45°∴OC＝1，AC＝2，AO＝AB∴AD＝OC＝1，BD＝AC＝2∴D点坐标为（3，1）∴B点坐标为（3，﹣1）∴此时正比例函数表达式为：y＝x7.答案：解：情形一：情形二：情形三：8.答案：证明：方法一：连接PC，过点P作PD⊥AC于D，则PD//BC根据折叠可知MN⊥CP∵∠2+∠PCN=90°，∠PCN+∠CNM=90°∴∠2=∠CNM∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN∴MC：CN=PD：DC∵PD=DA∴MC：CN=DA：DC∵PD//BC∴DA：DC=PA：PB∴MC：CN=PA：PB方法二：如图，过M作MD⊥AB于D，过N作NE⊥AB于E由双垂直模型，可以推知△PMD∽NPE，则，根据等比性质可知，而MD=DA，NE=EB，PM=CM，PN=CN，∴MC：CN=PA：PB9.答案：A解题思路：如图过点D作AB的平行线交BC的延长线于点M，交x轴于点N，则∠M=∠DNA=90°，由于折叠，可以得到△ABC≌△ADC，又由B（1，3）∴BC=DC=1，AB=AD=MN=3，∠CDA=∠B=90°∴∠1+∠2=90°∵∠DNA=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3∴△DMC∽△AND，∴设CM=x，则DN=3x，AN=1＋x，DM＝∴3x＋＝3∴x＝∴，则。答案为A10.答案：解：过点C作x轴的平行线交y轴于G，过点D作y轴的平行线交x轴于F，交GC的延长线于E。∵直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点∴A（1,0），B（0,2）∴OA=1，OB=2，AB=∵AB：BC=1:2∴BC=AD=∵∠ABO+∠CBG=90°，∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBG=∠BAO又∵∠CGB=∠BOA=90°∴△OAB∽△GBC∴∴GB=2，GC=4∴GO=4∴C（4,4）同理可得△ADF∽△BAO，得∴DF=2，AF=4∴OF=5∴D（5,2）11.答案：证明：（方法一）如图延长AE到M使得EM=AE，连接CM∵BE=CE，∠AEB=∠MEC∴△BEA≌△CEM∴CM=AB，∠1=∠B∴AB∥CM∴∠M=∠MAD，∠MCF=∠ADF∴△MCF∽△ADF∴∵CM=AB，AD=AC∴（方法二）过D作DG∥BC交AE于G则△ABE∽△ADG，△CEF∽△DGF∴，∵AD=AC，BE=CE∴12.答案：证明：过点D作DF∥AB交AC的延长线于点F，则∠2=∠3∵AC平分∠DAB∴∠1=∠2∴∠1=∠3∴AD=DF∵∠DEF=∠BEA，∠2=∠3∴△BEA∽△DEF∴∵AD=DF∴∵AC为AB、AD的比例中项∴即又∵∠1=∠2∴△ACD∽△ABC∴∴∴13.答案：解：证明：过点E作PQ∥BC分别交BA延长线和DC于点P和点Q∵AB∥CD，PQ∥BC∴四边形PQCB和四边形EQCF是平行四边形∴PB＝EF＝CQ，又∵AB＝b，CD＝a∴AP＝PB-AB＝EF-b，DQ＝DC-QC＝a-EF∴∴14.答案：解：连接MF∵M是AC的中点，EF＝FC∴MF∥AE且MF＝AE∴△BEN∽△BFM∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF∵BE＝EF∴BN：BM＝NE：MF＝1:2∴BN：NM＝1:1设NE＝x，则MF＝2x，AE＝4x∴AN＝3x∵MF∥AE∴△NAQ∽△MFQ∴NQ：QM＝AN：MF＝3:2∵BN：NM＝1:1，NQ：QM＝3:2∴BN：NQ：QM＝5:3:215.答案：证明：（1）如图1，AD、BE为△ABC的中线，且AD、BE交于点O过点C作CF∥BE，交AD的延长线于点F∵CF∥BE且E为AC中点∴∠AEO＝∠ACF，∠OBD＝∠FCD，AC＝2AE∵∠EAO＝∠CAF∴△AEO∽△ACF∴∵D为BC的中点，∠ODB＝∠FDC∴△BOD≌△CFD∴BO＝CF∴∴同理，可证另外两条中线∴三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的（2）如图2，AD为△ABC的角平分线过点C作AB的平行线CE交AD的延长线于E则∠BAD=∠E∵AD为△ABC的角平分线∴∠BAD=∠CAD∴∠E=∠CAD∴AC＝CE∵CE∥AB∴△BAD∽△CED∴∴16.答案：证明：如图，作DP∥AB，DQ∥AC则四边形MDPB和四边形NDQC均为平行四边形且△DPQ是等边三角形∴BP+CQ＝MN，DP＝DQ＝PQ∵M、N分别是边AB，AC的中点∴MN＝BC＝PQ∵DP∥AB，DQ∥AC∴△CDP∽△CFB，△BDQ∽△BEC∴，∴∵DP＝DQ＝PQ＝BC＝AB∴AB（）＝∴17.答案：证明：∵EF//AB，AB//DC∴EF//DC∴△AO