8-无网格法-20161217

华中科技大学国家CAD支撑软件工程技术研究中心王书亭[e-mail]13971098480课时：32教师：王书亭电话：[phone]email：[e-mail]办公室：西楼A614室无网格方法1无网格方法原理2无网格方法的研究进展3无网格方法的近似场函数构造4无网格方法的微分方程的离散5无网格方法的数值实现6无网格方法的算例无网格方法1无网格方法原理无网格方法提出的背景•有限元法和边界元法等数值方法均是基于网格的算法。•有限元法和边界元法在处理大变形、裂纹扩展等问题时常用网格重构，计算精度严重受损，计算效率也较低。•目前正在发展的无网格方法（MeshlessMethod,或Mesh-FreeMethod）可以避开网格重构，从而保证了计算精度和效率。无网格方法1无网格方法原理A（u）-q=0Ω内B（u）-g=0Γ上，h=A(x)-qRuh=B(x)-gRu*R+R0WdWdS无网格方法1无网格方法原理h1(x)(x)(x)=(x)NnIIIuuNuNu无网格方法1无网格方法原理*R+R0WdWdSh1(x)(x)(x)=(x)NnIIIuuNuNuh=B(x)-gRuh=A(x)-qRu无网格方法1无网格方法原理xIx()N()()IIIuuxxx0))((xuLΩxuu)(xx0))((IuLxΩIxuuI)(xIx配点法Galerkin方法0d)(dΩ))((Ωu-uuLx无网格方法1无网格方法原理光滑粒子法移动最小二乘法单位分解法重构核粒子法径向基函数法加权残数法变分原理边界积分方程+形成近似场函数形成求解方程与基于网格的方法不同与基于网格的方法相同无网格方法2无网格方法的研究进展•Lucy（1977）提出光滑粒子法（SmoothParticleHydrodynamicsmethod,即SPH）•Lancaster（1979，1981）较为系统地研究了移动最小二乘法•Belytschko（1994）提出无单元Galerkin方法（Element-FreeGalerkinmethod，即EFG）•Liu（1995）等人提出了重构核粒子法（ReproducingKernelParticleMethod，即RKPM)•Oden（1995）提出了Hp-clouds方法•Onate（1996）提出了有限点法（FinitePointMethod,即FPM）•Golberg和Chen（1994，1996）研究了径向基函数法（radialbasisfunction，即RBF）•Atluri（2000）提出了MeshlessLocalPetrov-GalerkinMethod（即MLPG）无网格方法2无网格方法的研究进展•Mukherjee（1997）提出势问题的边界点法（BoundaryNodeMethod,即BNM），并应用于弹性力学问题（1999）。•Atluri（1998）提出局部边界积分方程方法（LocalBoundaryIntegralEquation，即LBIE），并应用于弹性力学问题（2000）和非线性问题（1998）•Yao（2002)提出了杂交边界点法（HybridBoundaryNodeMethod）•本课题组（2003）提出边界无单元法（BoundaryElement-FreeMethod，即BEFM）。边界无单元法是边界积分方程无网格方法的直接解法。无网格方法3无网格方法的近似场函数构造1权函数Ixh2权函数满足•光滑连续函数•在区域的子域上•在子域外••是的单调递减函数•当，),(hwIxx0),(hwIxxI0),(hwIxx1d),(hwIxx),(hwIxxIxx)(),(IIhwxxxx0hIRadialBasisFunction无网格方法3无网格方法的近似场函数构造1,01,1)(222)ˆ()ˆ()(ddeeedwcdcdcd1,0121,34443421,4432)(3232dddddddddw指数函数Gauss函数1,01,3861)(432ddddddw三次样条函数四次样条函数权函数的几种形式无网格方法2光滑粒子法(SmoothParticleHydrodynamics，即SPH)yyyxxd)(),()(uhwuh假设试函数的形式为对离散的节点有NII,...,2,1,xIIIIhuwu)()()(xxxx则有IIIhuu)()(xxIIIw)()(xxx其中形函数3无网格方法的近似场函数构造无网格方法3无网格方法的逼近函数3移动最小二乘法(MovingLeast-SquareApproximation，即MLS))()()()()(T1xaxpxxximiihapu1）假设试函数的形式2）构造泛函)()()()(T1xaxpxxxximiihapu,21])(),()[(nIIIhIuuwJxxxxx211)()()()(IiImiinIIuapwxxxxx))(()(TuPaxWuPa),,,(21TnuuuuLancaster定义局部近似其中)()()()()()()()()(212222111211nmnnmmpppppppppxxxxxxxxxP)(000)(000)()(21n无网格方法3移动最小二乘法(MovingLeast-SquareApproximation，即MLS)nIIkIhuu1)()(xxjImjjkIp))(()(11BAxx4）代入试函数的假设式中得到uxBxAxa)()()(13）确定出系数0)()()(uxBxaxAaJuxBxaxA)()()(PxWPxA)()(T)()(TxWPxB其中其中形函数3无网格方法的近似场函数构造无网格方法4单位分解法(PartitionofUnityMethod)在域的一组开覆盖上定义的只在上非零的函数被称为单位分解函数，若IΩ)(xInICI,...,2,1,)(0xx,1)(1nIII在SPH和MLS中的形函数均为单位分解函数。3无网格方法的近似场函数构造无网格方法4单位分解法(PartitionofUnityMethod)1）Duarte和Oden(1995)ImIiiIIkIhqbuu1))()(()(xxx其中是阶数大于的单项式。)(xiqk2）Babuska和Melenk(1996)iiiIIIhpβu)()()(0xxx],,,,,[2110IIkIIIiIbbaaa]cosh,sinh,,,,1[xxxxnnpkTIIIxxxxx)()()(0wwI3）Babuska和Melenk(1996)其中是Lagrange插值多项式，且JIIJ:xIJIJJIIJhJIbLLbuΩ00)()()()()(xxxxx)(xJILIKKJIL)(x3无网格方法的近似场函数构造无网格方法5改进的移动最小二乘法在MLS法中，方程组固有的一个缺点就是容易形成病态性，这给求解带来了困难，同时影响精度和效率。(2)带权的正交函数族的构造可采用Schmidt正交化方法来构造带权的正交函数族:)}({xi,2,1,)(),(),()(,1)(111mmkkkkkmmmxxxxxmjkjkAjkwkijikniijk,,2,1,0)()(),(1xx(1)带权的正交函数3无网格方法的近似场函数构造无网格方法5改进的移动最小二乘法(3)改进的移动最小二乘法),(),(),()()()(),(),(),(),(),(),(),(),(),(2121212221212111ImIImmmmmmmupupupaaappppppppppppppppppxxx),(),(),()()()(),(000),(000),(21212211ImIImmmupupupaaappppppxxx),(),()(iiIiippupaxmi,,2,1取带权正交基，则有对于任意数和，定义内积)(xh)(xg)()()(),(1IInIIghwghxxxx3无网格方法的近似场函数构造无网格方法5改进的移动最小二乘法(3)改进的移动最小二乘法uxBxAxa)()()(),(1000),(1000),(1)(2211mmppppppxAnIIIhuu1)()()(xuxΦx)()()()](,),(),([)(T21xBxAxpxxxxΦn其中将系数代入试函数式中，得到形函数表达式其中3无网格方法的近似场函数构造无网格方法5改进的移动最小二乘法改进的MLS的优点•避免了矩阵求逆，因而比原方法计算量小、精度高•不会形成病态方程组,保证了精度3无网格方法的近似场函数构造无网格方法4无网格方法的微分方程离散弹性力学基本方程)(x)(ux)(x——配点法fu2)()(xuxu)()()(xtnxσxtNnIIIhuxxu1)()(考虑在域Ω内有nN个节点，它们的近似为无网格方法nN个离散化方程对应nN个未知数（J=1，2，…,nN）)(x)(ux)(x——配点法)()(12JnIIJIxfuxN)()(1JnIIJIxuuxN)()(,1,JnnIIiJiIxuunxNJu4无网格方法的微分方程离散无网格方法弹性力学基本方程)(x)(ux)(x——无单元Galerkin方法0bσ)()(xuxu)()()(xtnxσxt0dddTTTuWtutubεσ弹性力学的Galerkin弱形式uW其中项是为了引入本质（位移）边界条件，根据不同的施加边界条件的方法而不同。))((21Tuuε)(xεDσ:)(x4无网格方法的微分方程离散无网格方法——无单元Galerkin方法nIiIIiuu1)(Φ)(xx1,12,1,11,22,2,21,21,12,22,1,2,1000000nnnnΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦB=))(),(),...,(),(),(),((2122211211nnuuuuuuxxxxxxuBuxε)(BuxεxσDD)()(在MLS中,逼近函数为应变为应力为)(IiiIuux4无网格方法的微分方程离散无网格方法——无单元Galerkin方法1Lagrange乘子法uuuuddTλλuδδδWu为Lagrange乘子，)(,)()(uIIsxNx)(sIN为插值函数。qFuGGKTλ0dTJIIJBDBKddTTbtFIIIuKIIKdNGuIIduNq1,2,2,1,00IIIIIBKKKNN00N最终形成的线性方程组))(),...,(),((21nxxxλ