几种特殊类型函数的积分

第四章二、三角函数有理式的积分三、简单无理式的积分一、有理函数的积分第四节机动目录上页下页返回结束几种特殊类型函数的积分定义：两个多项式的商表示的函数称为有理函数.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(此处)(xP，)(xQ之间没有公因式，即)()(xQxP是既约分式。一、有理函数的积分即,)1(mn称此有理函数是真分式；,)2(mn称此有理函数是假分式；机动目录上页下页返回结束利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。例1123xxx.112xx多项式的不定积分是容易求的，因此，下面我们只讨论真分式的不定积分。说明：机动目录上页下页返回结束设)()(xQxP是真分数，它的不定积分可按下面步骤求：（1）将)(xQ在实数范围内分解成一次多项式和二次多项式的乘积：kax)(，lqpxx)(2，其中042qp，lk,是正整数；（2）按)(xQ的分解结果，将)()(xQxP拆成若干个部分分式的和（部分分式是指如下两种类型的分式：naxA)(，nqpxxNMx)(2，,2,1n，042qp）。机动目录上页下页返回结束（1）分母中若有因式，则分解后含有下列项:kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk则分解后含有下列项：（2）分母中若有因式,其中kqpxx)(2042qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk21222211)()(其中iA，iiNM,都是常数),,2,1(ki，用待定系数法确定具体步骤如下：机动目录上页下页返回结束四种典型部分分式的积分:CaxAln)1(nCaxnAn1)(1xaxAd.1xaxAnd)(.2xqxpxNxMd.32xqxpxNxMnd)(.42变分子为)2(2pxM2pMN再分项积分机动目录上页下页返回结束)1)(21(12xx),21)(()1(12xCBxxA,)2()2(12ACxCBxBA,1,02,02CACBBA,51,52,54CBA,1212xCBxxA整理得例1求积分.)1)(21(12dxxx解机动目录上页下页返回结束dxxxdxx2151522154dxxx)1)(21(12dxxdxxxdxx22115115221154.arctan51)1ln(51|21|ln522Cxxx.1515221542xxx)1)(21(12xx机动目录上页下页返回结束dxxdxxxdx22211511151)2(211522)1(1xx,1)1(2xCxBxA)1()1()1(12xCxBxxA代入特殊值来确定系数CBA,,取,0x1A取,1x1B取,2xBA,并将值代入)1(1C例2：求积分.)1(12dxxx解:机动目录上页下页返回结束dxxx2)1(1dxxxx11)1(112dxxdxxdxx11)1(112.|1|ln11||lnCxxx.11)1(112xxx2)1(1xx机动目录上页下页返回结束例3：求积分dxxxxI112324；解1:11211232324xxxxxxx)1)(1(1222xxxxxx112xxCBxxAx机动目录上页下页返回结束解得：,35,34,32CBAdxxxxdxxdxxI1353411322Cxxx312arctan32|1|ln322132dxxxxdxxdxxI123123211322dxxxxxxddxxdxx43)21(11)1(321132222机动目录上页下页返回结束dxxxdxxxxdxxdxx1111232113222解2:11211232324xxxxxxx111332332xxxxx111332232xxxxxdxxdxxdxxI43)21(11132233Cxxx312arctan32|1|ln322132机动目录上页下页返回结束例3：求积分dxxxxI112324；例4：求积分dxxxxxI)54)(44(122；机动目录上页下页返回结束解:dxxxxxI)541441(22dxxdxx1)2(1)2(122Cxx)2arctan(21说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.解:原式xxxd)22(22)22(2xx)22(x1)1(d2xx222)22()22d(xxxx)1arctan(x2212xxC例5：求积分机动目录上页下页返回结束dxxxxdxxxxx22222)22(22)22(22解:原式xxd14)1(2x)1(2x211d4xx2arctan2211xx21221ln21xx21xxCxxxxd11121222xxxxd11121222注意本题技巧按常规方法较繁例6：求积分机动目录上页下页返回结束2)1(212xx)1d(xx2)1(212xx)1d(xx三角函数的有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数．一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx2sec2tan22xx22122tan12tan2uuxx二、三角函数有理式的积分求dxxxR)cos,(sin的一般方法：2tanxu令uxarctan2（万能置换公式）机动目录上页下页返回结束12tan122x,12sin2uux,11cos22uuxduudx212dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR12cos2cos2xx,11112222uuu机动目录上页下页返回结束2tanxu令uxarctan2万能置换公式例7：求积分.cossin1sindxxxx解：,12sin2uux，2211cosuux，duudx212由万能置换公式dxxxxcossin1sinduuuu)1)(1(22duuuuuu)1)(1(112222机动目录上页下页返回结束令2tanxuduuuuu)1)(1()1()1(222duuu211duu11uarctan)1ln(212uCu|1|ln2tanxu2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx机动目录上页下页返回结束duuuduu22111duu11例8：求积分.sin3sinsin1dxxxx解1：2cos2sin2sinsinBABABAdxxxxsin3sinsin1dxxxxcos2sin2sin1dxxxx2cossin4sin1dxxx2cossin141dxx2cos141机动目录上页下页返回结束用万能公式较繁dxxxxx222cossincossin41dxx2cos141dxxdxxxsin141cossin412dxx2cos141dxxxdxsin141)(coscos1412dxx2cos141机动目录上页下页返回结束dxxx2cossin141dxx2cos141xcos41xxcotcscln41.tan41Cx例8：求积分.sin3sinsin1dxxxx解2：dxxxxsin3sinsin1dxxx2cossin141dxx2cos141机动目录上页下页返回结束同解1xdxtansin141xtan41dxxxxxx2sincostan41sintan41xtan41dxxxxxx2sincostan41sintan41xtan41dxxxsin141cos141dxx2cos141xcos41xxcotcscln41.tan41Cx机动目录上页下页返回结束说明：一般来说，用万能置换的计算量会比较大，故在计算三角函数有理式的积分时，通常先考虑其它方法，不得已再用万能置换。三角函数有理式的主要积分类型及代换dxxxRcos)(sin)1(txsin令dxxxRsin)(cos)2(txcos令dxxxR2sec)(tan)3(txtan令)cos,(sin)cos,(sin)4(xxRxxR若txsin令)cos,(sin)cos,sin()5(xxRxxR若txcos令tx2tan令)cos,(sin)cos,sin()6(xxRxxR若万能代换)7(机动目录上页下页返回结束txtan令解1:)cos,(sin)cos,sin(xxRxxR满足txtan令txarctanxxx222tan1tansin221ttdttdx211dtttttI22222411)1(1)1(1机动目录上页下页返回结束dxxxI44cossin12211costxdttt4211例9：求积分dtttt222111)1(2)1(12ttdttCtt21arctan21Cxxtan21tanarctan21机动目录上页下页返回结束dtttI4211解2：机动目录上页下页返回结束dxxxI)tan1(cos144xdxxtantan1tan142Cxxtan21tanarctan21（同解法1）dxxxI44cossin1例9：求积分xdxxtan)tan1(cos142解3：机动目录上页下页返回结束dxxxxxI22222cossin2)cos(sin1dxx2sin21112)2(2sin212xdxCx22tanarctan21dxxxI44cossin1例9：求积分)2(2cos112xdx)2()12cos1(2cos122xdxx)2(tan)22tan(12xdx例10：求解：.11dxexxet1令,12tex,122dtttdxdxex11dtt122dttt1111Ctt11ln.|11|ln2Cxex),1ln(2tx机动目录上页下页返回结束三、简单无理函数的积分.21d3xx解：令,23xu则原式u123uuduuud11)1(32uuud)111(3(3221uuu1lnC)例11：求积分机动目录上页下页返回结束C例12：求积分.1113dxxx解：令16xt,65dxdttdxxx3111dtttt52361dttt163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx机动目录上页下页返回结束dttt11163dtttt)111(62例13：求积分dxxxx11解：令t