三重积分习题

常见的二次曲面1.柱面2.锥面3.椭球面4.双曲面5.抛物面1x+y=1yozx1z=xy.所围成的区域与0,1:zyxxyzzyxzyxfIddd),,(计算习题10-3第1(1)题z=01x+y=1ozx1yz=xy.所围成的区域与0,1:zyxxyzzyxzyxfIddd),,(计算习题10-3第1(1)题11z=0ozxx+y=1yDxyzz,y,xfyxI0)d(dd。zz,y,xfyxxyxd)(dd01010。z=xy.所围成的区域与0,1:zyxxyzzyxzyxfIddd),,(计算习题10-3第1(1)题1Dxy10xzy习题10-3第1(2)题习题10-3第1(3)题azob12222byaxyxcz=xy.区域。所围成的在第一卦限的及01,)0(c:2222zbyaxcxyzzyxzyxfIddd),,(计算习题10-3第1(4)题zz=0a12222byaxcz=xyyxb.o区域。所围成的在第一卦限的及01,)0(c:2222zbyaxcxyzzyxzyxfIddd),,(计算习题10-3第1(4)题azoxycz=xyb.区域。所围成的在第一卦限的及01,)0(c:2222zbyaxcxyzzyxzyxfIddd),,(计算习题10-3第1(4)题机动目录上页下页返回结束20/37azoxycz=xyb.zzyxfyxIDcxyd),,(ddzzyxfyxcxyaxaabd),,(ddDxy:cxyz围成12byax,y,xz=0直角坐标：上顶：下底由是曲顶柱体,用哪种坐标？abDxyyx04.计算三重积分。其中是由曲面dxdydzzxy32xyz与平面，及所围成的闭区域。xy1x0z分析:由于积分区域和被积函数不具有利用“先二后一”、柱面坐标和球面坐标计算的特点,故本题考虑利用直角坐标来计算.解:(1)求（如图）在平面上的投影区域为xoyxyD10,0:xxyDxy(2)确定上顶曲面及下顶曲面。120xyz(3)转化为先对后对的三次积分计算：zyx,因为当时满足，,0x0yxyDyx),(。因此1xyz:20:zzoxyzxyyxdxdydzzxy32xyDdzzxydxdyxy032xyDdxdyyx6541xdyyxdx06510413641习题10-3第7题8.计算三重积分.其中是由锥面zdxdydz22yxRhz与平面所围成的闭区域。hz)0,0(hR被竖坐标为的平面所截的平面闭区域为圆域z22222:hzRyxDz故本题利用直角坐标系中“先二后一”的方法计算比较简便；222:RyxDxy所以本题也可采用柱面坐标计算解法1：利用“先二后一”方法计算。由于，}0,),(|),,{(hzDyxzyxz面上的投影区域为圆域考虑到积分区域在坐标xoy分析由于被积函数只与变量有关,且积分区域zzzyxf),,(xyzoRRhzD其中，故22222:hzRyxDzzdxdydzzDhdxdyzdz0hdzhzRz0222hdzzhR03222241hR解法2：利用柱面坐标计算。在柱面坐标下20,0,:RhzRh故有zdxdydzhRhRdzzdd020RdRhh02222)(212RRhh042222)421(2241hR注意：从上面两种解法的过程来看,虽然本题可用两种方法来计算，但“先二后一”法相对简便。机动目录上页下页返回结束26/379(2).计算三重积分,其中是由圆锥面zdxdydz22yxz与上半球面所围成的闭区域。222zxy分析：本题可考虑用直角坐标系中的“先二后一”法和柱面坐标方法进行计算。解法1：利用“先二后一”方法计算。因{(,,)|(,),02}zxyzxyDz由于当时，；01z222:zyxDz而当时，。12z222:2zDxyzyzxo12D故需用平面将积分区域划分为两部分：1z211{(,,)|(,),01}zxyzxyDz其中2{(,,)|(,),12}zxyzxyDzzdxdydz21zdxdydzzdxdydz1201zzDDzdzdxdyzdzdxdy122201(2)zzdzzzdz124240111()44zzz2于是，得解法2：利用柱面坐标计算。在柱面坐标下2:2,01,02zzdxdydz221200ddzdz12012(22)2d故有12401()22注意：从上面两种解法的过程来看，虽然本题可用两种方法来计算，但利用柱面坐标计算相对简便。