Lebesgue积分

130第五章Lebesgue积分本章是实变函数的中心内容，Lebesgue积分称为勒贝格积分或L积分。一、内容结构L积分是在L测度论基础上讨论的积分，建立L积分的方法有多种，更普遍地采用“非负简单函数→非负可测函数→一般可测函数”这种由特殊到一般的递进方式，或“有界可测函数→有界集上无界函数积分→一般可测函数的积分”的步骤建立L积分，并讨论L积分的初等性质。对积分序列的极限学习L积分的三大定理：勒维定理、法都定理与勒贝格定理，这是L积分的中心结果。我们还要学习L积分意义下重积分交换次序的富比尼定理。建立了L积分后，把R积分与L积分进行比较，找出它们之间的区别、联系，用L测度的知识完整地解答R可积的本质。由微分与积分的讨论，在L—积分中推广微积分基本定理。主要内容：勒贝格积分的定义；勒贝格可积的充要条件；勒贝格积分的性质；勒贝格积分的三大极限定理；勒贝格积分与R积分的关系；黎曼可积的充要条件；勒贝格积分的计算。基本要求：学习本章内容，着重理解和掌握以下几个方面：1、对于勒贝格积分的定义，理解、掌握定义过程的思想、方法，掌握勒贝格积分的定义。2、对于L积分的性质，注意掌握勒贝格积分所特有的性质，如勒贝格L积分的绝对可积性，这是L积分的根本特点；由此得L积分的控制131收敛定理是L积分的重要结论；L积分的绝对连续性是L积分的重要特征，很多问题的证明用此性质；可测函数可以用连续函数平均逼近、零测度集不影响函数的可积性及积分值等等是很有用的结论。对于L积分性质的学习，要注意分清哪些只需积分有意义就成立，哪些必须函数可积才成立。3、函数列积分的极限定理理论上很重要，是全章的重点之一。注意掌握几个定理各自的特点、条件、结论和相互联系，会用于解决问题。4、掌握有界变差函数和绝对连续函数的概念，了解它们在微分与积分关系中的地位和作用。5、了解为什么说勒贝格积分是黎曼积分的推广及二者的关系。对L积分的计算昀终还是转化为黎曼积分来完成。能准确地表述R可积的充分必要条件。132二、主要的数学思想与方法1、由“三步”转换定义L积分的思想与方法：简单函数→非负可测函数→一般可测函数2、L积分的三个有关绝对值概念的内涵、意义：L积分的绝对连续性、绝对可积性、变上限积分的绝对连续性3、可测函数列的L控制收敛定理的意义与作用：是L积分理论中昀重要的结论之一，由简明条件所提供的积分与极限交换次序的充分条件有广泛应用。4、L积分与R积分的联系，用测度理论彻底解答R可积性问题：R可积的充分必要条件是不可测集为零测集。5、L积分中牛顿—莱布尼兹公式成立的条件、意义。133三、疑难点学习方法（一）L积分定义在L积分定义的引入过程中，与R积分类比，先采用对有界点集的分划，通过上确界)(supxfEi及下确界)(infxfEi，构成大和与小和，定义上积分与下积分，当上积分等于下积分时定义积分为L可积，进一步考虑有界集上无界可测函数积分、一般可测函数的积分，这种定义的优点是刚接触L—积分的概念较自然，容易接受；而不足也是因为与R积分类比引入L-积分，过于套用R积分的模式，掩盖了L积分特有的思想、方法及优点，在理论上未能达到应用的简洁。更多的实变函数教材中采用以简单函数的线性表示L积分为起点，通过“三步”模式转为一般可测函数的L积分定义，具有简捷性，方法特点有启发性，在现代数学中已被普遍接受。昀大优点在于，由此定义方法定义L积分，将R积分中的定积分、重积分、常义积分、广义积分熔为一个整体，从高度的抽象中达到了高度的统一。L-积分“三步”转化的主要思想如下。L-积分研究的是可测函数的积分，根据可测函数的特性转化过程是：①一般可测函数)(xf；②)(xf用非负可测函数表示：)()()(xfxfxf−+−=③非负可测函数)(xf+由非负上升简单数列极限表示：)(limxfnnϕ∞→+=定义L-积分，采用从特殊到一般的“三步”转化：134⑴非负简单函数Xcxnii∑==1)(φEi定义L积分：∫∑==EniiimEcdxx1)(ϕ⑵非负可测函数)(xf：由)()(limxfxnn=∞→ϕ。定义L积分：dxxxfEEnn∫∫=∞→)(lim)(ϕ⑶一般可测函数)(xf：当+f，−f于E上不同为∞，定义L积分：∫−∫∫=−+EEEdxxfdxxffdx)()(由此，在理论上建立了L-积分的定义，但L-积分的计算通过与R积分的关系化为R积分进行。（二）L积分有关“绝对值”的性质学习L积分的性质，除了掌握与R积分相似的初等性质外，更要注意掌握L积分特性，例如三个有关“绝对值”的性质：⑴L积分的绝对连续性：)(xf于E可积，任一可测集EA⊂，有0)(lim0=∫→dxxfAmA。或任一0ε，存在0δ，当δmA，有ε∫Adxxf)(。积分的绝对连续性是L-积分的重要特征，在连续函数平均逼近定理、可测函数列控制收敛定理、L积分中牛顿—莱布尼兹公式的推广应用等很多重要定理的证明中都用到此性质。⑵L积分的绝对可积性：)(xfL可积的充分必要条件为)(xfL可积。135由此，对于L积分可积亦绝对可积。这一特性与R积分有所不同。R积分的可积性可能依赖于被积函数的正负值相消；而L积分主要依靠f的绝对值受到一定的“控制”，当gf，无论f如何复杂，若g可积，则f必定可积。由此，显示了L积分较R积分的优越性；并说明L积分可以看成R定积分的推广，但不是R广义积分的推广。⑶变上限积分函数的绝对连续性：若)(xf于[]ba,L可积，则cdttfxFxa+=∫)()(在[]ba,上是绝对连续的。由此性质，我们进而研究[]ba,上的勒贝格不定积分；cdttfxa+∫)(在什么条件下L积分意义下的微积分基本定理成立。对于L[]ba,上的可积函数)(xf，只要)()('xfxF=，a.e于[]ba,，称F为f的原函数。任意可积函数都有绝对连续的原函数。L积分下，微积分基本定理仅仅对于绝对连续的原函数成立。(三)L-积分序列的极限定理在R积分中，一致收敛的极限函数性质：⑴若1°每一)(xfn于I连续；2°)(xfn一致收敛于)(xf；则①)(xf于I连续，且)(limlim)(lim0xfxfxxnnn→∞→∞→=（极限交换顺序）136②)(xf于I可积，且∫∫∞→∞→=bannbanndxxfdxxf)(lim)(lim（极限与积分交换顺序）⑵若1°)(xfn收敛于)(xf；2°)('xfn于I连续；3°)('xfn于I一致收敛；则)(xf于I可导，且())(lim)(limxfdxdxfdxdnnnn∞→∞→=。一致收敛条件是进行极限运算与求和运算，求导运算交换顺序的充分条件，但不是必要条件。在L积分中，类似的问题不考虑一致收敛性，而找到可积的控制函数，得到积分运算与极限运算可交换顺序。L-控制收敛定理：①{}nf可E可测；②F(x)于E可积，且)()(xFxfn≤；a、e于E，③)()(xfxfn⇒．则)(xf于E可积，且∫∫∞→∞→=EnnEnndxxfdxxf)(lim)(limL-控制收敛定理是实变函数论的精华结论之一，它对于极限与积分交换顺序的解决比R积分简单多了。由此可进一步解决“参变积分”的有关问题。勒维定理与法都定理，对{}nf的不同条件而给出结论。137三、专题选讲（一）L积分的概念1、定义引入的两种方式⑴积分和的定义方式——与R积分比较，采用确界式逐步引入定义。第一步：积分点集E测度有限：∞mE；被积可测函数)(xf有界：Mxfm)(。对比项目R积分L积分积分域（点集）的分割在[]ba,上任取n-1个点：bxxxxxann=⋅⋅⋅=−1210把[]ba,分成n个小区间：[]),2,1(,1nixxxiii⋅⋅⋅==Δ−则所有分点构成[]ba,的一个分割T，小区间长度记为：11,−−=Δiiixxx，记{}inixTΔ=≤≤1max称为分割T的纯度或模。设nRE⊂是一个非空可测集，如果UniiEE1==，其中各iE为互不相交的非空可测集，则称有限集{}iED=是E的一个可测分割。设{}''nED=是E的另一分割如果任DEDEij∈∃∈,'，使ijEE⊂'，称D’比D细密。138大和数与小和数设),,2,1(,nimiMi⋅⋅⋅=分别是)(xf于[]iixx,1−上的上确界与下确界，令∑Δ⋅==niiiMfTS1),('χ∑Δ⋅==niiiMfTs1),(χ分别称为)(xf关于分割T的大和数与小和数。)(xf是定义于测度有限集E上的有界函数，对E的任一分割{}iED=，令iB与ib分别是)(xf于上的上确界与下确界，∑⋅==niiimEBfDS1'),(∑⋅==niiimEBfDs1'),(分别称为)(xf关于分割D的大和数和小和数。对比项目R积分L积分1.任意分割T、'T,有)()(TSTs≤（小和总不超过大和）1.任意分割D、'D，有).().(fDSfDs≤。大和数与小和数的主要性质2.'T比T细密，有)()'()'()(TSTSTsTs≤≤≤（分割细密，小和不减，大和不增。）2.'D比D细密,有)()'()'()(DSDSDsDs≤≤≤1393.[]{}fmba,inf=,[]{}fMba,sup=对[]ba,的，任意分割T，有()()abMTSTsabm−⋅≤≤≤−)()(3.{}fbEinf=,{}fBEsup=对D的任意分割D,有mEBDSDsmEb⋅≤≤≤⋅)()(上积分与下积分的定义R上积分：（大和的下确界）),(inf)(fTSdxxfTba=∫R下积分：（小和的上确界）),(sup)(fTsdxxfTba=∫有：dxxfdxxfbaba)()(∫≥∫L上积分：),(inf)(__fDSdxxfDE=∫L下积分：),(sup)(fTsdxxfDE=∫有：dxxfdxxfEE)()(∫≥∫积分定义若dxxfdxxfbaba)()(∫=∫，称)(xf于[]ba,R可积，记为：dxxffdxdxxfbababa)()(∫=∫∫=，[]ba,积分区域，)(xf是被积函数。若dxxfdxxfEE)()(∫=∫，称)(xf于EL可积，记为：fdxfdxdxxfEEE∫=∫∫=)(E为积分点集，f是被积函数。140两种定义本质上的不同对区域[]ba,与点集E的分割方式不同，及度量、求解而不同：iχΔ——长度、面积、体积等；iEΔ——求点集的测度。故两种积分定义不同，只看形式上的相似。两种积分的直接联系1.若)(xf于[]ba,上R可积，则)(xf于[]ba,L可积，且有相同积分值：dxxfdxxfbaba)()(],[∫∫=。2.)(xf于[]ba,L可积，不一定于[]ba,R可积；即L积分是R积分的推广。第二步：把∞mE，推广到任意可测集E，（不要求∞mE）把)(xf于E有界，推广为)(xf是非负可测函数。讨论非负可测函数于可测集E上的L积分①E用一列逐步扩大的测度有限的可测集来逼近：⋅⋅⋅⊂⊂321EEE，EEnn=∞→lim例如，在R2上，取以原点为中心，2n为边长的闭区间：(){}2,1,,21=≤=inxxxKin令EKEnn∩=例：E为上半平面，则，EKE∩=11EKE∩=22EKE∩=33……141⋅⋅⋅⊂⊂21EE，EEnn=∞→lim②用一列单调增加的有界可测函数列逼近)(xfn：例如，取[]{}nxfxfxfnn),(min)()(==⎩⎨⎧≤=nxfnnxfxf)(,,)(),(当当则对任意取定的n，)(xfn有界，且：,)()()()(321⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅≤≤≤xfxfxfxfn)()(limxfxfnn=∞→由①，②得：{}nE、{})(xfn单调增加，每个En测度有限，)(xfn有界，有∫∫⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅≤≤≤1221)()()(0EEnEndxxffdxxfdxxf从而，dxxfEnn)(lim∫∞→存在（可能为+∞），定义2设非负可测函数)(xf定义于可测集E，)(xf于E上的L积分定义为：[]dxxfdxxfnEnnE)(lim)(∫=∫∞→其中，每一En测度有限，{}nE单调升，En→E。[])()()(xfxfxf