高等数学(同济大学)课件下第12_8常系数齐次

常系数机动目录上页下页返回结束第八节齐次线性微分方程基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化第十二章二阶常系数齐次线性微分方程:xrey和它的导数只差常数因子,代入①得0)(2xreqprr02qrpr称②为微分方程①的特征方程,1.当042qp时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为xrxreCeCy2121(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.机动目录上页下页返回结束2.当042qp时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:[1xre)(1urup0uq)2(211ururu是特征方程的重根0u取u=x,则得,12xrexy因此原方程的通解为xrexCCy1)(210)()2(1211uqrprupru机动目录上页下页返回结束3.当042qp时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx机动目录上页下页返回结束小结:),(0为常数qpyqypy,02qrpr特征方程:xrxreCeCy2121实根xrexCCy1)(21)sincos(21xCxCeyx特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.机动目录上页下页返回结束若特征方程含k重复根若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项)(01)1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程:0111nnnnararar推广:机动目录上页下页返回结束例1.032yyy求方程的通解.解:特征方程,0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为例2.求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解:特征方程0122rr有重根,121rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得,41C于是所求初值问题的解为22C机动目录上页下页返回结束例3.xxo解:由第七节例1(P293)知,位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律立坐标系如图,设t=0时物体的位置为取其平衡位置为原点建00ddvtxt,00xxt22ddtx02xktxndd2因此定解问题为自由振动方程,机动目录上页下页返回结束方程:22ddtx02xk特征方程:,022krkir2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始条件得:,01xC故所求特解:tkkvtkxxsincos00A0xkv0方程通解:1)无阻尼自由振动情况(n=0)kvC020022020tan,vxkkvxA机动目录上页下页返回结束解的特征:简谐振动A:振幅,:初相,周期:固有频率0dd00vtxt,000xxt下图中假设机动目录上页下页返回结束(仅由系统特性确定)方程:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼:nk这时需分如下三种情况进行讨论:2)有阻尼自由振动情况大阻尼:nk临界阻尼:n=k22ddtx02xktxndd2解的特征解的特征解的特征机动目录上页下页返回结束例4.的通解.解:特征方程,052234rrr特征根:irrr21,04,321因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例5..0)4()5(yy解方程解:特征方程:,045rr特征根:1,054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不难看出,原方程有特解),,,,132xexxx推广目录上页下页返回结束02)(22222rr例6..)0(0dd444wxw解方程解:特征方程:即0)2)(2(2222rrrr其根为),1(22,1ir)1(24,3ir方程通解:xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC机动目录上页下页返回结束例7..02)4(yyy解方程解:特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为则方程通解:机动目录上页下页返回结束内容小结),(0为常数qpyqypy特征根:21,rr(1)当时,通解为xrxreCeCy212121rr(2)当时,通解为xrexCCy1)(2121rr(3)当时,通解为)sincos(21xCxCeyxir2,1可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.机动目录上页下页返回结束思考与练习求方程的通解.答案::0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaeCeCy21作业P3101(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3第九节目录上页下页返回结束备用题为特解的4阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为2)1(r0)4(2r即04852234rrrr故所求方程为其通解为机动目录上页下页返回结束