2 第二型曲线积分

Review1.定义szyxfd),,(2.性质Lsyxfd),(szyxgzyxfd),,(),,()1(21d),,(d),,(d),,()2(szyxfszyxfszyxf),(21组成由lsd)3((l曲线弧的长度)),(为常数szyxgLd),,(3.计算•对光滑曲线弧Lsyxfd),(•对光滑曲线弧Lsyxfd),(baxxf))(,(Lsyxfd),()sin)(,cos)((rrf•对光滑曲线弧tttd)()(22xxd)(12d)()(22rr)](),([ttfFri.Apr.28§2第二型曲线积分第二型曲线积分的概念与性质第二型曲线积分的计算两类曲线积分的关系oxyABL一第二型曲线积分的概念与性质1nMiM1iM2M1Mixiy实例:变力沿曲线所作的功,:BAL)},(),,({),(yxQyxPyxF常力所作的功分割.),,(,),,(,1111110BMyxMyxMMAnnnn.)()(1jyixMMiiii.ABFW求和.]),(),([1niiiiiiiyQxP取极限.]),(),([lim10niiiiiiiyQxPW近似值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii取,),(1iiiiiMMFW.),(),(iiiiiiiyQxPW即niiiiniirFWW11),(oxyABL1nMiM1iM2M1M),(iiFixiy1概念iiiiiiiiiiiiiiirFMMnirMMsMMniMMnLLyxQyxPFBAxoyL),(),,(,,,2,1,.,,,2,1(.)},(),,({,1111做数量积点上一任取的长记为个有向小弧段任意分割成将上有界在函数向光滑曲线弧的一条有到点面内从点为设定义第二型曲线积分，记作的到从沿曲线则有限和的极限值为，，令求和，得BALyxFsrFininiiii),(0}{max),(11上式也可以写成LdyyxQdxyxP),(),(向量形式坐标形式LiniiirdyxFrF),(),(lim10到对质点所作的功。从沿曲线变力ALyxF),(物理意义：.,),(),,(第二类曲线积分存在续时上连在光滑曲线弧当LyxQyxP定理：第二型曲线积分与曲线的方向有关。三维空间的第二型曲线积分：)},,(),,,(),,,({),,(zyxRzyxQzyxPzyxFRdzQdyPdxrdF对向量场定义第二型曲线积分：2性质BABArdFkrdFk)1BABABArdQrdFrdyxQyxF)],(),([)2其物理意义可解释为：合力做的功等于每个分力所作的功之和或差。.,)32121LLLrdFrdFrdFLLL则和分成如果把则方向相反的有向曲线弧是与,)4LL积分路径相反，则第二型曲线积分变号。LLrdFrdFLrdF点的位置无关，记作：二型曲线积分的值与起后，该封闭曲线上第当封闭曲线的方向确定规定：正向。方向为人的左侧，则人前进的域总在如果闭曲线所围成的区行走时，正向为：当沿封闭曲线的为封闭曲线时，规定当LL二第二型曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),,(22存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP定理dttttQtttPdyyxQdxyxPL)}()](),([)()](),([{),(),(且证明:下面先证tttPd)](),([)(tLdxyxP),(根据定义niiiixP10),(lim对应参数设分点ix,it,i由于1iiixxx)()(1iittiit)(对应参数tttPd)](),([niiiP10)](,)([limiit)(niiiP10)](,)([limiit)()(t因为L为光滑弧,同理可证tttQd)](),([)(t特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为起点为.)}()](,[)](,[{dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL则.)(:)2(dcyyxxL，终点为起点为.]}),([)(]),([{dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL则.,,)()()(:)3(终点起点推广ttztytxdtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{例1.)1,1()1,1(,2的一段弧到上从为抛物线其中计算BAxyLxydxL解的定积分，化为对x)1(.xyOBAOLxydxxydxxydx1001)(dxxxdxxx10232dxx.54xy2)1,1(A)1,1(B的定积分，化为对y)2(,2yxABLxydxxydx1122)(dyyyy.11到从y1142dyy.54xy2)1,1(A)1,1(B的一段弧；到从原点为其中计算)1,1(,12lim222AOxyLdxynnxLn例2解dxynnxLn2212limdxxnnxn104212lim2arctanlimnn102|arctanlimnxn)1,1(A11oxy的直线；到从点是，求设)4,3,3()0,0,1(,},,3/{BALrdFzyxxyFL例3解4321zyx104321ttztytxBtAt1,0直线方程为：参数方程为：10])4)(91()3)(21()2(33[dtttttttrdFL17)321(10dtt依增大的方向；曲线为，其中计算)20(|1|1)()(2222xxyLdyyxdxyxL例4解21,210,:xxxxyL积分路线如图所示，其方程为根据曲线积分对路径的可加性知：112xyo1L2Lxy2xydyyxdxyxdyyxdxyxdyyxdxyxLLL)()()()()()(22222222222221212222102222]})2([)])2({[)]()[(dxxxxxdxxxxx34)2(22212102dxxdxx；折线；半径为圆弧为，其中计算曲线积分例AOBABLdyyxdxyxL)2()1()1()()(52222AB0xy解：(1)AB弧的参数方程为：]2,0[sincosttytx，点对应，点对应02tBtA0223221]))(sinsin(cos))(coscos)[(sindtttttttI0224)sincoscossin(dttttt16334(2)AOBdyyxdxyxAOB)()(2222BOOAQdyPdxQdyPdx102012)(dxxdyy32两条积分路线有相同的起点和终点，但积分路径不同，积分值也不同。.)0,()0,()2(;)1(,2的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算aBxaAaLdxyL例6解,sincos:)1(ayaxL，变到从0)0,(aA)0,(aB0原式daa)sin(sin22)0,(aA)0,(aB.343a,0:)2(yL，变到从aaxaadx0原式.0问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同。积分值与路经有关。03a)(cos)cos1(2d).1,1(),0,1()0,0(,,)3(;)1,1()0,0()2(;)1,1()0,0()1(,27222依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算例BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL2xy)0,1(A)1,1(B解.)1(的积分化为对x,10,:2变到从xxyL1022)22(dxxxxx原式1034dxx.1)0,1(A)1,1(B2yx.)2(的积分化为对y,10,:2变到从yyxL1042)22(dyyyyy原式1045dxy.1)0,1(A)1,1(B)3(ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式,上在OA,10,0变到从xy1022)002(2dxxxdyxxydxOA.0,上在AB,10,1变到从yx102)102(2dyydyxxydxAB.110原式.1)0,1(A)1,1(B问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同。积分值与路经无关。取顺时针方向。轴正向看去，从是曲线，其中计算曲线积分例LzzyxyxLdzyxdyzxdxyzL,21)()()(822解：空间曲线积分用参数方程比较方便.sincos2sincoszyxddzyxdyzxdxzyL)]sin)(cossin(coscos)sin2cos2()sin)(cos2[()()()(0220)12cos2cos2sin2(d220d三两类曲线积分的关系第一类曲线积分：数量函数f(x,y)对弧长的积分，与积分路径的方向无关，化定积分时，下限总是小于上限；第二类曲线积分：。值起点与终点对应之参数限不一定大于下限积分上向有关，化定积分时，之和，与积分路径的方对坐标的积分向量函数)(),(yxFdsyxQyxPdsyxQyxPrdFLLL]cos),(cos),([]sin),(cos),([,,),(为处的切线向量的方向角上点yxL,)()()(cos22ttt,)()()(cos22ttt其中,)()(tytxL：设有向平面曲线弧为,,,),,(为处的切线向量的方向角上点zyxdsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则（可以推广到空间曲线上）。的长度，为积分路径其中试证下面的估计式：上连续，在光滑曲线设22max,(),,(QPMLllMQdyPdxyxQyxPLL例9证明：dsQPdsQPQdyPdxLLL|coscos|)coscos(22222coscoscos2cos)coscos(QPQPQP22222coscoscos2cos)coscos(0QPQPQP222)coscos()coscos()coscos(