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在导出黎曼问题的弱解概念时,在欧拉方程两边同时乘以任意函数再积分转化为一等价的“弱”形式的方程时用到了二重积分的分部积分方法,其实就是格林公式。一般意义下的分部积分公式:uvdxuvvudx或udvuvvdv证明:分部积分实际上是把普通积分公式fdxf中的被积函数f换成了两个函数的乘积,故可称之为一维情况下的分部积分;把普通积分公式运用到二维情况,其实就得到了格林公式,格林公式实现了把面积分转换成了线积分(降次)。格林公式:FdxdyFdyxFdxdyFdxy一般合并写为DLQPdxdyPdxQdyxy证明(以第一个公式为例):积分域为(x,y)|a(y)xb(y),cyd,如图:则:(y)(y)(y)(y)(x,y)((y),y)((y),y)dbcadxbxacddccFdxdyxFdxdyxFdyFbdyFadyFdy类似地,把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积,则导出二维情况下的分部积分。二重积分的分部积分公式:()gffdxdyfgdygdxdyxx()gffdxdyfgdxgdxdyyy证明(以第一个公式为例):在FdxdyFdyx中,把F换为fg,则:()()fgdxdyfgdyx,即()()gffgdxdyfgdyxx即()gffdxdyfgdygdxdyxx综上:把普通积分公式中的被积函数换成两个函数的乘积,则导出了一维分部积分公式;把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积,则导出了二维分部积分公式。且两种分部积分公式在形式上是很相似的:uvdxuvvudx对比()gffdxdyfgdygdxdyxx北航曾元圆
本文标题:二重积分的分部积分公式与格林公式
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