(微积分)4微分中值定理与导数的应用

返回上页下页第一节微分中值定理定理1(费马(Fermat)定理)设f(x)在U(x0,δ)，内有定义，若f(x)在x0可导且对任意的x∈U(x0,δ)，有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），则f｀(x0)=0.0)()(lim)(0)()(,),(,,)(000'0000000xxxfxfxfxxxfxfxxxUxxfxx故有时当对任意则由定义为极大值不妨设证返回上页下页0)('0)()(lim)(0)()(,0000'0000xfxxxfxfxfxxxfxfxxxx从而得到有时当通常称f(x)=0的根为函数f(x)的驻点.可导函数的极值点一定是驻点．返回上页下页定理2(罗尔(Rolle)中值定理)如果函数f(x)满足：(1)在[a,b]上连续,(2)在(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一点∈(a,b),使得f()=0．在曲线上至少存在一点C,在该点曲线具有水平切线．或者说，该点的切线平行于弦AB.返回上页下页证因为f(x)在[a,b]上连续,f(x)在[a,b]上必取得最大值M和最小值m．(1)如果M=m,则f(x)在[a,b]上恒等于常数M,因此,对一切x∈(a,b),都有f(x)=0.于是定理自然成立.(2)若M＞m,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个不等于f(a).设M≠f(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点处达到最大值,即f()=M,由费马定理知f()=0．返回上页下页例1验证罗尔定理对函数f(x)=x2-2x+3在区间[-1,3]上的正确性．显然函数f(x)=-2x+3在[-1,3]上满足罗尔定理的三个条件,解由f(x)=2x-2=2(x-1),可知f(1)=0,因此存在=1∈(-1,3),使f(1)=0．返回上页下页定理3(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函数y=f(x)满足下列条件:(1)在闭区间[a,b](2)在开区间(a,b)则至少存在一点∈(a,b),使得abafbff)()()(证作辅助函数xabafbfxfxF)()()()(F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且返回上页下页aabafbfafaF)()()()(babafbfbfbF)()()()(0)()(,)()(aFbFaFbFF(x)满足罗尔定理的条件,故至少存在一点∈(a,b),使得F()=0,即0)()()()(abafbffFabafbff)()()(因此得返回上页下页拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式,也可以写成f(b)-f(a)=f()(b-a)(a＜＜b)是(a,b)中的一个点,=a+(b-a)(0＜＜1),拉格朗日中值公式还可写成f(b)-f(a)=(b-a)f[a+(b-a)](0＜＜1)返回上页下页例3)(arctanarctan211212xxxxxx其中证明不等式证)()(11arctanarctan],,[.arctan)(211221221xxxxxxxxxxf有在设.arctanarctan,11112122xxxx所以返回上页下页推论1如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)≡0,则在(a,b)内,f(x)恒为一个常数．证在(a,b)内任取两点x1,x2,设x1x2,显然f(x)在[x1,x2]上满足拉格朗日中值定理的条件211212)()()()(xxxxfxfxf因为f(x)≡0,所以f()=0.f(x2)=f(x1).返回上页下页例5).1(2arccosarcsinxxx试证)1,1(,01111)(',arccosarcsin)(22xxxxfxxxf则令证]1,1[,2arccosarcsin)(,2)1(,2)0()1,1(,)(xxxxfffxCxf故且又因得返回上页下页推论2若f(x)及g(x)在(a,b)内可导,且对任意x∈(a,b),有f(x)=g(x),则在(a,b)内,f(x)=g(x)+C(C为常数).证因[f(x)-g(x)]=f(x)-g(x)=0,由推论1,有f(x)-g(x)=C,即f(x)=g(x)+C,x∈(a,b)．返回上页下页定理4(柯西(Canchy)中值定理)若函数f(x)和g(x)满足以下条件:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,且g(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点,使得)()()()()()(gfagbgafbf证若g(a)=g(b),则由罗尔定理,至少存在一点1∈(a,b),使g(1)=0,这与定理的假设矛盾.故g(a)≠g(b).返回上页下页作辅助函数)()()()()()()(xgagbgafbfxfxFF(x)满足罗尔定理的三个条件,于是在(a,b)内至少存在一点,使得0)()()()()()()(gagbgafbffF从而有)()()()()()(gfagbgafbf返回上页下页例6.)()()(-)(),,(:,),(,],[)(,0abbafabfffbababaxfba使得至少存在一点试证内可导在上连续在函数设,],[,1)(,)()(.11)()(柯西中值定理的条件上满足它们在令原式右边可写成baxxGxxfxFabaafbbf证返回上页下页abaafbbfaGbGaFbFGF)()()()()()()(')('且有abbafabfffxGxxfxfxF)()()(-)(1)(',)()()('22代入得将返回上页下页第二节洛必达法则一、型未定式00定理1设f(x),g(x)(1)f(x)=0,g(x)=0(2)f(x),g(x)在内可导,且g(x)≠0(3)存在(或为∞)则0limxx0limxxoU)()(lim0xgxfxx)()(lim)()(lim00xgxfxgxfxxxx返回上页下页证由条件(1),设f(x0)=0,g(x0)=0.由条件(1)和(2)知f(x)与g(x)在U(x0)内连续设x∈,则f(x)与g(x)在[x0,x]或[x,x0]上满足柯西定理的条件,)(0oxU)()()()()()()()()(000之间与在xxgfxgxgxfxfxgxf当x→x0时,显然有→x0,由条件(3)得)()(lim)()(lim)()(lim000xgxfgfxgxfxxxxxx返回上页下页注意:(1)如果仍为型未定式,且f(x),g(x)满足定理条件，则可继续使用洛必达法则；(2)洛必达法则仅适用于未定式求极限,运用洛必达法则时,要验证定理的条件,当既不存在也不为∞时,不能运用洛必达法则．应该注意：求极限时应将洛必达法则和无穷小代换等技巧结合使用，才能使求解过程更加简便。00)()(lim0xgxfxx)()(lim0xgxfxx返回上页下页例2240sinsincoslim.xxxxxx求解24030030200sinsincoslimsincossinlimlimsincoslimcoscossinsin1limlim.333xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx返回上页下页例3200111sin2sincoslimlim.sincosxxxxxxxxx201sinlim.sinxxxx求解上式右端的极限不存在且不为∞，所以洛必达法则失效．2001sin1limlimsin0sinxxxxxxx返回上页下页推论1设f(x)与g(x)(1)f(x)=0,g(x)=0;(2)存在X＞0,当x＞X时,f(x)和g(x)可导,且g(x)≠0;(3)存在(或为∞)xlimxlim)()(limxgxfx)()(lim)()(limxgxfxgxfxx证令x=1/t,则x→∞时,t→0)()(lim1)1(1)1(lim)1()1(lim)()(lim2200xgxfttgttftgtfxgxfxttx返回上页下页例4arctan2lim.1ln(1)xxx求解22221arctanarctan122limlimlim111ln(1)lim11xxxxxxxxxxxx返回上页下页二、型未定式定理2设f(x),g(x)(1)f(x)=∞,g(x)=∞(2)f(x)和g(x)在内可导,且g(x)≠0；(3)存在(或为∞)．则0limxx0limxx)(0oxU)()(lim0xgxfxx)()(lim)()(lim00xgxfxgxfxxxx返回上页下页推论2设f(x)与g(x)(1)f(x)=,g(x)=;(2)存在X＞0,当x＞X时,f(x)和g(x)可导,且g(x)≠0;(3)存在(或为∞)xlimxlim)()(limxgxfx)()(lim)()(limxgxfxgxfxx返回上页下页例5200001(csc)lncotcotlimlim1lnlimsincos1lim1cosxxxxxxxxxxxxx0lncotlim.lnxxx求解返回上页下页122limlimee(1)lime!lim0ennxxxxnxxnxxxnxnnxnlim(,0).enxxxn求为正整数解例6返回上页下页三、其他未定式若对某极限过程有f(x)→0且g(x)→∞,则称lim[f(x)g(x)]为0·∞型未定式若对某极限过程有f(x)→∞且g(x)→∞,则称lim[f(x)-g(x)]为∞-∞型未定式若对某极限过程有f(x)→且g(x)→０,则称limf(x)g(x)为00型未定式若对某极限过程有f(x)→1且g(x)→∞,则称limf(x)g(x)为1型未定式若对某极限过程有f(x)→＋∞且g(x)→0,则称limf(x)g(x)为0型未定式．返回上页下页例9111121ln10lim()lim()1ln(1)ln01ln1limlim1112lnxxxxxxxxxxxxxxxxxxx型11lim().1lnxxxx求解返回上页下页例10解xxyxyxlnsinlnsin则设.limsin0xxx求0sinlimcos1limsincos1limsin1lnlim)ln(sinlimlnlim20020000xxxxxxxxxxyxxxxxx1elim,eelimlim0sin0lnlimln00ln0xxyyxxyxyeyx所以有由返回上页下页例13eeeeeelimlimlimeeeeeexxxxxxxxxxxxxxxeelim.eexxxxx求解这是型未定式22ee1elimlim1ee1exxxxxxxx而返回上页下页第三节泰勒公式一、泰勒公式将一个复杂函数f(x)用一个多项式Pn(x)＝a0＋a1x+…+a1xn来近似表示当x很小时,有ex≈1+x,sinx≈x,xnxn111两点不足：(1)精度不高,误差仅为x的高阶无穷小o(x);(2)没有准确好用的误差估计式．返回上页下页设f(x)在U(x