拉普拉斯变换(上海大学课件)

上海大学机电工程与自动化学院工程控制原理2.数学模型与传递函数2.2拉普拉斯变换主讲：周晓君办公室：机械副楼209-2室电子邮件：[e-mail]办公电话：56331523上海大学机电工程与自动化学院2.2拉普拉斯变换系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关系。经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。2.数学模型与传递函数时域分析法求解数学模型微分方程，获得系统输出随时间变化的规律。借助于系统频率特性分析系统的性能，拉普拉斯变换是其数学基础。频域分析法频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。上海大学机电工程与自动化学院2.2.1复数和复变函数复数的概念复数s=+j（有一个实部和一个虚部，和均为实数）两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。2.2拉普拉斯变换1j称为虚数单位上海大学机电工程与自动化学院复数的表示法对于复数s=+j复平面：以为横坐标(实轴)、为纵坐标(虚轴)所构成的平面称为复平面或[s]平面。复数s=+j可在复平面[s]中用点(,)表示：一个复数对应于复平面上的一个点。2.2.1复数和复变函数o复平面[s]12j12s1=1+j1s2=2+j2上海大学机电工程与自动化学院①复数的向量表示法复数s=+j可以用从原点指向点(,)的向量表示。向量的长度称为复数的模：2.2.1复数和复变函数o12js1s222rs向量与轴的夹角称为复数s的复角：)/arctan(上海大学机电工程与自动化学院②复数的三角函数表示法与指数表示法根据复平面的图示可得：=rcos，=rsin复数的三角函数表示法：s=r(cos+jsin)2.2.1复数和复变函数o12js1s2欧拉公式：sinjcosje复数的指数表示法：jres上海大学机电工程与自动化学院③复变函数、极点与零点的概念以复数s=+j为自变量构成的函数G(s)称为复变函数：G(s)=u+jv式中：u、v分别为复变函数的实部和虚部。2.2.1复数和复变函数(a)当s=-zi时，G(s)=0，则si=-zi称为G(s)的零点；分子为零分母为零通常，在线性控制系统中，复变函数G(s)是复数s的单值函数。即：对应于s的一个给定值，G(s)就有一个唯一确定的值与之相对应。)()()(jipszsksG当复变函数表示成(b)当s=-pj时，G(s)→∞，则sj=-pj称为G(s)的极点。上海大学机电工程与自动化学院例：当s=+j时，求复变函数G(s)=s2+1的实部u和虚部v。2.2.1复数和复变函数复变函数的实部122u复变函数的虚部2v解：G(s)＝s2+1＝(+j)2+1＝2+j(2)-2+1＝(2-2+1)+j(2)上海大学机电工程与自动化学院2.2.2拉普拉斯变换的定义拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。2.2拉普拉斯变换0d)()()(tetftfLsFst复变量原函数象函数拉氏变换符号拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数f(t)变换到复数域内与之等价的复变函数F(s)。设有时间函数f(t)，当t0时，f(t)＝0；在t≥0时定义函数f(t)的拉普拉斯变换为：上海大学机电工程与自动化学院拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变换存在的条件：①当t≥0时，f(t)分段连续，只有有限个间断点；②当t→∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即2.2.2拉普拉斯变换的定义atMetf)(在复平面上，对于Resa的所有复数s(Res表示s的实部)都使积分式绝对收敛，故Resa是拉普拉斯变换的定义域，a称为收敛坐标。式中：M、a为实常数。上海大学机电工程与自动化学院2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换(1)单位阶跃函数单位阶跃函数定义：2.2拉普拉斯变换0,10,0)(1ttt0001dd)(1)(1stststestetettL其拉普拉斯变换为：sesesstt111lim0上海大学机电工程与自动化学院(2)单位脉冲函数单位脉冲函数定义：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换1d)(tt且：0,00,)(ttt(0)d)()(fttft其拉普拉斯变换为：1d)()(00tststetettL上海大学机电工程与自动化学院(3)单位速度函数（单位斜坡函数）单位速度函数定义：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换0,00)(ttttf其拉普拉斯变换为：00d1dststetsttetL2020011d11sestesetsststst上海大学机电工程与自动化学院(4)指数函数指数函数表达式：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换atetf)(式中：a是常数。其拉普拉斯变换为：asteteeeLtasstatat1dd0)(0上海大学机电工程与自动化学院(5)正弦信号函数正弦信号函数定义：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换0,sin00)(ttttf由欧拉公式，正弦函数表达为：tjtjj21sin-eetttesinjcostjtte-sinjcostj两式相减其拉普拉斯变换为：0tjtj0dj21dsinsinteeetettLst-st220t)j(t)j(j1j1j21dj21sss-tees-s--上海大学机电工程与自动化学院(6)余弦信号函数余弦信号函数定义：2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换0,cos00)(ttttf由欧拉公式，余弦函数表达为：tjtj21cos-eetttesinjcostjtte-sinjcostj两式相加其拉普拉斯变换为：0tjtj0d21dcoscosteeetettLst-st220t)j(t)j(j1j121d21ssss-tees-s--上海大学机电工程与自动化学院拉普拉斯变换简表(待续)2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数f(t)(t0)象函数F(s)=L[f(t)]11(单位阶跃函数)1s2(t)(单位脉冲函数)13K(常数)Ks4t(单位斜坡函数)1s2上海大学机电工程与自动化学院拉普拉斯变换简表(续1)2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数f(t)(t0)象函数F(s)=L[f(t)]5tn(n=1,2,…)n!sn+16e-at1s+a7tne-at(n=1,2,…)n!(s+a)n+181T1Ts+1tTe上海大学机电工程与自动化学院拉普拉斯变换简表(续2)2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数f(t)(t0)象函数F(s)=L[f(t)]9sints2+210costss2+211e-atsint(s+a)2+212e-atcosts+a(s+a)2+2上海大学机电工程与自动化学院拉普拉斯变换简表(续3)2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数f(t)(t0)象函数F(s)=L[f(t)]13(1-e-at)1s(s+a)14(e-at-e-bt)1(s+a)(s+b)15(be-bt-ae–at)s(s+a)(s+b)16sin(t+)cos+ssins2+21a1b-a1b-a上海大学机电工程与自动化学院拉普拉斯变换简表(续4)2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数f(t)(t0)象函数F(s)=L[f(t)]17e-ntsinn1-2tn2s2+2ns+n218e-ntsinn1-2t1s2+2ns+n219e-ntsin(n1-2t-)ss2+2ns+n2=arctann1-21n1-211-21-2上海大学机电工程与自动化学院拉普拉斯变换简表(续5)2.2.3典型时间函数的拉普拉斯变换序号原函数f(t)(t0)象函数F(s)=L[f(t)]201-e-ntsin(n1-2t+)n2s(s2+2ns+n2)=arctan211-cost2s(s2+2)22t-sint2s(s2+2)23tsint2s(s2+2)211-21-2上海大学机电工程与自动化学院2.2.4拉普拉斯变换的基本性质(1)线性定理若、是任意两个复常数，且：2.2拉普拉斯变换,)()(11sFtfL)()(22sFtfL证明：02121d)()()()(tetftftftfLst0201d)(d)(tetftetfstst)()(21sFsF则：)()()()(2121sFsFtftfL上海大学机电工程与自动化学院(2)平移定理若：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质)()(asFtfeLat证明：则：)()(sFtfL0d)()(teetftfeLstatat0)(d)(tetftas)(asF上海大学机电工程与自动化学院(3)微分定理若：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质)0()(d)(dfssFttfL证明：则：)()(sFtfLf(0)是t=0时的f(t)值00)(ddd)(dd)(dtfetettfttfLstst)0()(d)()(00fssFtetfstfestst同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：tfsfsFsttfLd)0(d)0()(d)(d222上海大学机电工程与自动化学院(3)微分定理推广到n阶导数的拉普拉斯变换：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质如果：函数f(t)及其各阶导数的初始值均为零，即)0()0()(d)(d21fsfssFsttfLnnnnn)0()0(1)(2)(n-n-fsf0)0()0()0()0()0()1()2(nnfffff则：)(d)(dsFsttfLnnn上海大学机电工程与自动化学院(4)积分定理若：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质则：证明：tfssFsttfLd)0(1)(1d)()()(sFtfL函数f(t)积分的初始值00d1d)(dd)(d)(ststesttftettfttfL00d)(d)(ttfsesettfstst)(1d)0(1sFstfs上海大学机电工程与自动化学院(4)积分定理同理，对于n重积分的拉普拉斯变换：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质tfssFsttfLnnnd)0(1)(1d)()(tfstfsnnd)0(1d)0(1)()2(1若：函数f(t)各重积分的初始值均为零，则有)(1d)()(sFsttfLnn注：利用积分定理，可以求时间函数的拉普拉斯变换；利用微分定理和积分定理，可将微分-积分方程变为代数方程。上海大学机电工程与自动化学院(5)终值定理若：2.2.4拉普拉斯变换的基本性质则：)(lim)(lim