微分方程的积分因子求解法

1常微分方程的积分因子求解法内容摘要：本文给出了几类特殊形式的积分因子的求解方法，并推广到较一般的形式。关键词：全微分方程，积分因子。一、基本知识定义1.1对于形如0),(),(dyyxNdxyxM（1.1）的微分方程，如果方程的左端恰是x，y的一个可微函数),(yxU的全微分，即d),(yxU=dyyxNdxyxM),(),(，则称（1.1）为全微分方程.易知，上述全微分方程的通解为),(yxU=C,（C为任意常数）.定理1.1（全微分方程的判别法）设),(yxM，),(yxN在x，y平面上的单连通区域G内具有连续的一阶偏导数，则（1.1）是全微分方程的充要条件为xyxNyyxM),(),(（1.2）证明见参考文献[1].定义1.2对于微分方程（1.1），如果存在可微函数),(yx，使得方程),(yx0),(),(),(dyyxNyxdxyxM（1.3）是全微分方程，则称),(yx为微分方程（1.1）的积分因子.定理1.2可微函数),(yx为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为xyxyxN),(ln),(-yyxyxM),(ln),(=xyxNyyxM),(),(（1.4）证明：由定理1.1得，),(yx为微分方程（1.1）的积分因子的充要条件为xyxNyxyyxMyx)),(),(()),(),((，展开即得：2xyxyxN),(),(-yyxyxM),(),(=),(),(),(yxxyxNyyxM.上式整理即得（1.4）.证毕注1.1若),(yx0，则（1.3）和（1.1）同解。所以，欲求（1.1）的通解，只须求出（1.3）的通解即可，而（1.3）是全微分方程，故关键在于求积分因子),(yx。为了求解积分因子),(yx，必须求解方程（1.4）。一般来说，偏微分方程（1.4）是不易求解的；但是，当),(yx具有某种特殊形式时还是较易求解的。二、特殊形式的积分因子的求法情况1当),(yx具有形式)(x时，方程（1.4）化为dxxdyxN)(ln),(=xyxNyyxM),(),(，即dxxd)(ln=xyxNyyxMyxN),(),(),(1于是得到：定理2.1微分方程（1.1）具有形如)(x的积分因子的充要条件为xyxNyyxMyxN),(),(),(1只是x的连续函数,不含y.此时易得,dxxyxNyyxMyxNex),(),(),(1)(.类似地定理2.2微分方程（1.1）具有形如)(y的积分因子的充要条件为xyxNyyxMyxM),(),(),(1只是y的连续函数,不含x.并且,dyxyxNyyxMyxMey),(),(),(1)(.例2.1求0)]()([dydxxqyxp的通解.解:因xyxNyyxMyxN),(),(),(1=)(xp,故dxxpex)()(.3方程两边同乘以dxxpex)()(得dxxpe)(0)]()([)(dyedxxqyxpdxxp,即dxexqyeddsspdxxp)()()(0,故通解为dxexqyedsspdxxp)()()(=C,即dxexqCeydsspdxxp)()()(，（C为任意常数）.情况2如果(1.1)具有形如)(yx的积分因子,令yxz,则)(yx=)(z.由(1.4)得dzzd)(ln=xyxNyyxMyxMyxN),(),(),(),(1,于是得到:定理2.3微分方程（1.1）具有形如)(yx的积分因子的充要条件为xyxNyyxMyxMyxN),(),(),(),(1只是yxz的连续函数,此时积分因子为dzxyxNyyxMyxMyxNCeyxz),(),(),(),(1)()(,(C为任意非零常数).例2.2求0)32()32(32233223dyxxxyydxyyyxx的积分因子.解:因xyxNyyxMyxMyxN),(),(),(),(1=yx2故方程具有形如)(yx的积分因子,取1C得，)(yx)(2yxdyxe=2)(1yx.情况3如果(1.1)具有形如)(xy的积分因子,令xyz,则)(xy=)(z.由(1.4)得dzzd)(ln=xyxNyyxMyxxMyxyN),(),(),(),(1,于是得到:定理2.4微分方程（1.1）具有形如)(xy的积分因子的充要条件为4xyxNyyxMyxxMyxyN),(),(),(),(1只是xyz的连续函数,此时积分因子为dzxyxNyyxMyxxMyxyNCexyz),(),(),(),(1)()(,(C为任意非零常数).例2.3求0)3(23dyyxxydx的积分因子.解:因xyxNyyxMyxxMyxyN),(),(),(),(1=xy3，故方程具有形如)(xy的积分因子,取1C得)(xy)(3xydxye=3)(1xy.情况4一般地,如果方程(1.1)具有形如)(nmyx的积分因子,令nmyxz,则)(nmyx)(z.由(1.4)得dzzd)(ln=xyxNyyxMyxMnyyxNmxnm),(),(),(),(111,于是得到定理2.5微分方程（1.1）具有形如)(nmyx的积分因子的充要条件为xyxNyyxMyxMnyyxNmxnm),(),(),(),(111只是nmyxz的连续函数,此时积分因子为dzxyxNyyxMyxMnyyxNmxnmnmCeyxz),(),(),(),(111)()(,(C为任意非零常数).类似地,我们有定理2.6微分方程（1.1）具有形如)(lkyx的积分因子的充要条件为xyxNyyxMyxMylxyxNykxlklk),(),(),(),(111只是lkyxz的连续函数,此时积分因子为dzxyxNyyxMyxMylxyxNykxlklklkCeyxz),(),(),(),(111)()(,(C为任意非零常数).例2.4求0)(2223dyxyxdxy的积分因子.解:由xyxNyyxMyxMylxyxNykxlklk),(),(),(),(111，5=])2(2[4522ylkkxyxxylk,易知,欲使上式仅是lkyxz的函数,只须22)2(245ylkkxxy等于常数即可.为此,令42k,52lk,得2k,1l.此时22)2(245ylkkxxy=-1.取1C得yxeyxyxdyx2)(1121)(22.三、一般理论定理3.1如果),(yx是微分方程(1.1)的积分因子,(1.1)乘以),(yx后得到(1.3).设(1.3)的左端为),(yxdU,则)),((),(yxUyx仍是(1.1)的积分因子.其中,)(是任何可微函数.定理3.2在(1.1)中,若),(yxM和),(yxN在长方形区域Q上连续,且),(yxN在Q上处处不为零.对于(1.1)的任何两个在Q上处处连续且恒不为零的积分因子),(1yx,),(2yx(从而),(1yx,),(2yx在Q上不变号),设]),(),()[,(),(11dyyxNdxyxMyxyxdU]),(),()[,(),(22dyyxNdxyxMyxyxdU.则在Q内任一点),(yx,可定出一邻域,在此邻域内,),(),(12yxyx只是),(1yxU的函数.上述两定理的证明可参见参考文献[3].注3.1由定理3.1和定理3.2即知,设),(yx是(1.1)的积分因子,(1.3)的左端为),(yxdU,则(1.1)的积分因子通式为)),((),(yxUyx.其中,)(是任何可微函数.例3.1求0)73()35(223dyxyxdxyxy的积分因子及通解.解:重新组合:)35(2dyxxydx0)73(23dyxydxy,6对于前一个括号内可求得一个积分因子yx211,乘之得dyydxx35][ln35yxd.故前一个括号内可取积分因子通式为yx21)(351yx.同样可得后一个括号内的积分因子通式为31xy)(732yx.下面求出1,2,使得yx21)(351yx=31xy)(732yx.设ss)(1,ss)(2,即有yx21)(35yx=31xy)(73yx,于是得37131325,解得21,21.从而即得原微分方程的一个积分因子为2121yx,用2121yx乘以方程的两边可求得通积分为Cyxyx27232325,(C为任意常数).