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水木艾迪电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座503室第17讲数项级数(一)级数的概念与性质(二)正项级数的判敛问题(三)任意项级数的判敛问题(四)综合例题级数内容提要无穷级数是高等数学的一个重要组成部分,是数与函数的一种重要表示形式,也是研究函数的一种重要方法。级数问题的基础是极限理论。数项级数、幂级数、傅里叶级数是我们研究的三种基本级数。为了掌握好数项级数的有关内容,必须理解数项级数的有关概念,熟练掌握级数运算的记号,掌握并运用收敛级数的基本性质及常见的判别法(比较、比值、根式、莱布尼兹、绝对值),做到正确判断正项级数、交错级数及任意项级数的敛散性。17.1数项级数基本概念17.1.1定义与符号运算定义17.1:设{是一个数列,则称表达式}nuLL+++=∑∞=3211uuuunn为一个数项级数,简称级数,其中称为数项级数的通项(或一般项)。nu∑==nkknuS1称为数项级数的前项部分和。n级数的部分和记号与级数一般项的运算关系是∑==nkknuS1nu11+++=nnnuSS,=nu1−−nnSS定义17.2:若级数的部分和数列∑∞=1nnu{}nS有极限,则称级数收敛,极限值∑∞=1nnuSSnn=∞→lim称为此级数的和;当不存在时,则称级数发散。nnS∞→lim∑∞=1nnu根据级数收敛的定义,其和为。SSuunnknknnn===∑∑=∞→∞→∞=11limlim例17.1几何级数(等比级数--尺度1)∑+++++=∞=−−1121nnnaxaxaxaaxLL(a≠0,xR∈).【解】显然有,xxaSnn−−=1)1(,L,2,1=n.刘坤林谭泽光编1水木艾迪电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座503室当||时,=x1nnS∞→lim()xaxxann−=−−∞→111lim,该级数收敛,和为xa−1当||时,不存在,该级数发散.x≥1nnS∞→lim例17.2级数∑++∞=1)2)(1(1nnn收敛,其和为21。【解】首先2111)2)(1(1+−+=++nnnn,级数的部分和为2121+−=nSn,于是212121limlim=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=∞→∞→nSnnn.例17.3数项级数∑∞=1221arctannn的和为4π。分析:例17.3中利用拆项求数项级数部分和,进一步直接求出级数的和,这种方法也可以处理一些比较复杂的级数问题。上述例题也可用这类方法。【解】由三角函数的差角公式可得到∑∑==−++−−+==mnmnmnnnnnS112)12)(12(1)12()12(arctan21arctan,4)12arctan(1arctan)12arctan()]12arctan()12[arctan(1π−+=−+=−−+=∑=mmnnmn所以4limπ=∞→mmS,故原级数的和为4π。以上第三个等号用到差角公式。17.2.2收敛级数的性质性质1:(级数收敛的必要条件)若级数收敛,则∑∞=1nnu0lim=∞→nnu。【证】设级数∑收敛,则由∞=1nnu=nu1−−nnSS取极限得到=∞→nnulim0)(lim1=−=−−∞→SSSSnnn。注:项数列为无穷小量是级数收敛的必要条件,即当0lim≠∞→nnu时,级数必然发散。值得注意的是,即使,级数也不一定收敛,例如调和级数∑∞=1nnu0lim=∞→nnu∑∞=1nnu∑∞=11nn是发散的。性质2(充要条件):刘坤林谭泽光编2水木艾迪电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座503室(1)级数∑收敛的充要条件是,(或)存在,且.∞=1nnunnS2lim∞→12lim+∞→nnS0lim=∞→nnu(2)级数收敛的充要条件是,=∑∞=1nnunnS2lim∞→12lim+∞→nnSS=.性质3(运算性质):(1)数乘运算:若级数∑收敛,∞=1nnuα是任意实数,则级数收敛,且∑。∑∞=1nnuα∞=1nnuα∑∞==1nnuα(2)加法运算:若级数收敛,则级数收敛,且∑∑∞=∞=11,nnnnvu)(1nnnvu±∑∞=)(1nnnvu±∑∞=∑∑∞=∞=±=11nnnnvu。上述几条性质,一定要注意它们成立的条件,若条件不满足,可能会得到错误结果。例如对于∑和∑,下述运算是错误的∞=−1)1(nn∞=−−11)1(nn0)1()1(])1()1[(011111≠−+−=−+−=∑∑∑∞=−∞=∞=−nnnnnnn性质4(重组性质---更新性质)(1)收敛级数加括号后所生成的更新级数仍收敛,且两个级数的和相同.注意:此性质的逆命题并不成立,即一个级数加括号后所形成的级数收敛并不能保证原级数收敛;若合并级数相邻有限项后所得到的更新级数发散,则可推断原级数发散。级数的重组性质类似于有限个数的加法所满足的结合律。(2),一个级数去掉、增添或改变有限项后,生成的更新级数与原级数有相同的收敛性结论。从极限的概念来理解,一个级数的收敛性,只依赖于某个足够大的下标之后的无穷多项和是否存在(有极限),与级数的前面限项无关。N例17.4己知级数,则级数∑等于(C)。()5,2111211==−∑∑∞=−∞=−nnnnnaa∞=1nna(A)3;(B)7;(C)8;(D)9。[寓意]本题练习级数的符号运算,以及收敛级数的运算法则,而级数的运算法则的实质是极限的运算法则。【解】(方法1)()LL+−++−+−+−=−−∞=−∑nnnnnaaaaaaaaa212654321111刘坤林谭泽光编3水木艾迪电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座503室−=∑∞=−112nna∑∞=12nna,因此,=∑∞=12nna−∑∞=−112nna()325111=−=−∑∞=−nnna所以。=∑∞=1nna8352112=+=+∑∞=−)(nnnaa(方法2)由,则。又因为,所以312=∑∞=nna6212=∑∞=nna2)1(1=−∑∞=nnna。826)1(2))1(2(1121121=+=−+=−+=∑∑∑∑∞=∞=∞=−∞=nnnnnnnnnnnaaaaa例17.50lim=∞→nnna,且级数收敛,则级数∑收敛性的结论是[]。∑∞=−−11)(nnnaan∞=1nna(A)收敛,(B)发散,(C)不定,(D)与正负有关na【解】答案A。,,∑=−−=nkkknaakS11)(∑==nkknaS1*由收敛,则,∑∞=−−11)(nnnaanSaakSnkkknnn=−=∑=−∞→∞→11)(limlim考虑)()(2)(11201−−++−+−=nnnaanaaaaSLnnnaaaaa++++−−=−)(1210LnnnaSa+−−=−*10=∞→*limnnSSanaSaSnnnnn−−=+−−=∞→−∞→00*1)(limlim,故级数∑收敛性。∞=1nna17.2正项级数为了研究级数的判敛方法,我们先讨论一种特殊的数项级数,即正项级数。定义17.3若,则称为正项级数。0nu∑∞=1nnu17.2.1正项级数基本属性刘坤林谭泽光编4水木艾迪电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座503室正项级数∑的基本属性是:部分和数列∞=1nnu{}nS为单增数列。由此属性,构成下述几个正项级数判敛法的理论基础。定理17.1(正项级数收敛的充要条件)正项级数∑收敛的充分必要条件是其部分和数列∞=1nnu{}nS有上界。例17.6讨论p级数∑∞=11npn的收敛性(尺度2)。【证】由pn1的单调性与积分估值定理得到∫∫−+≤≤nnppnnpdxxndxx11111,所以∫∑∫∑∑∫∫=≤≤==−==++mpmnnnpmnpmnnnpmpdxxdxxndxxdxx1212211211111,故当时,部分和有界,级数收敛;而当1p1≤p时,部分和无界,级数发散。17.2.2.正项级数的判敛法(1)定理17.3(直接比较法)若存在,使得当时,有0NNnnnvu≤≤0,则(1)当级数收敛时,级数收敛;∑∞=1nnv∑∞=1nnu(2)当级数发散时,级数发散。∑∞=1nnu∑∞=1nnv【证】只证(1)设级数收敛,则部分和有界,即存在与,使当时且,因此,即∑∞=1nnv∑==nkknvS1NN10MNnMSnnnvu≤≤0MSuSnnkkn≤=∑=1*{}*nS有界,所以级数收敛。∑∞=1nnu比较判敛法是正项级数的基本判敛法,利用此判敛法的关键就是要找敛散性已知的级数与所研究的级数作比较。比较判敛法的一种常用形式就是下述比阶判敛法。(2)定理17.4(极限比较法比阶法):设,,且0≥na0≥nbAbannn=∞→lim,则(1)当时,级数与∑同为收敛或同为发散;0≠A∑∞=1nna∞=1nnb刘坤林谭泽光编5水木艾迪电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座503室(2)当时,由级数收敛可推断收敛。0=A∑∞=1nnb∑∞=1nna(3)当+∞=A,由级数发散可推断发散。∑∞=1nnb∑∞=1nna【证】(1)设0.lim≠=∞→Abannn,级数收敛,显然,∑∞=1nnb0A则0∀ε,,使当时有0∃NNnεε+−AbaAnn,特别取02=Aε,则232AbaAnn,于是有nnbAa23,而∑∞=123nnba收敛,由比较法,级数收敛。∑∞=1nna其余留给读者练习证明。推论:设,且,则0≥nuρ=∞→npnunlim(1)当+∞≤ρ0,且时,级数∑收敛;1p∞=1nnu(2)当+∞≤ρ0,且1≤p时,级数∑发散。∞=1nnu注:相当于将与∑∞=1nnu∑∞=11npn进行比阶。即当时,若是1p0≥nupn1高阶或同价无穷小量,则收敛;当时,若是∑∞=1nnu1≤p0≥nupn1低阶或同价无穷小量,则发散。也就是说,当时,级数的敛散性可以由无穷小量∑∞=1nnu0≥nu∑∞=1nnu)(∞→nun的阶来判断。例17.7设1))1((lim,0,01=−∞→nnpnnaenpa且,若级数收敛,则∑∞=1nnap的取值范围是),2(+∞。【解】1lim][lim])1([lim11==⋅=−−∞→∞→∞→pnnnpnnnpnnananaen,因级数收敛,由比阶法,∑∞=1nna则级数∑∞=−111npn收敛,于是得到。2p刘坤林谭泽光编6水木艾迪电话:010-62701055/82378805地址:清华同方科技广场B座503室注:比阶判敛法是讨论正项级数敛散性的常用方法,本题主要考查比阶判敛法及等价无穷小量等有关内容。例17.8设在上单调增加且有界,求证级数收敛。)(xf),0[+∞∑∫∞=−−11nnndxxfnf])()([【证】由在)(xf),0[+∞上单调增加有界,则可积,且有)(xf)()()(nfdxxfnfnn≤≤−∫−11,或,)()()(11−−≤−≤−∫−nfdxxfnfnn于是0,所以∑为正项级数。)()()()(11−−≤−≤∫−nfnfdxxfnfnn∫∞=−−11nnndxxfnf])()([再注意到,)0()()]1()([1fnfkfkfSnkn−=−−=∑=且由于在单调增加且有界,所以极限存在,由此得到)(xf),0[+∞∞→xxf)(lim极限存在,即级数收敛,)]0()([limlimfnfSnnn−=∞→∞→∑∞=−−11nnfnf)]()([由正项级数比较判定准则,级数∑收敛。∫∞=−−11nnndxxfnf])()([(3)定理17.5(自我比较法比率判敛法)设,且0nuρ=+∞→nnnuu1lim,则(1)当1ρ时,级数收敛;∑∞=1nnu(2)当
本文标题:2010考研数学基础班讲义-微积分第十七讲
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