七大积分总结

七大积分总结一．定积分1.定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n－1个分点：a=x0x1x2……xi-1xixi+1……xn-1xn=b,把区间[a,b]分成n个小区间：[x0,x1]……[xi-1,xi]……[xn-1,xn]，记△xi=xi－xi-1(i=1,2,3,……,n)为第i个小区间的长度，在每个小区间上[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤i)，作乘积:f(ξi)△xi(i=1,2,3,……,n),并作合式：iixf)(Sin1记λ=max{△x1,△x2,△x3……,△xn},若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[xi-1,xi]上点ξi怎样取法，只要当λ→0时，S的极限I总存在，这时我们称I为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做：niiibaxfIdxxf10)()(lim其中f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，[a,b]称为积分区间，niiixf0)(称为积分和。如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积。关于定积分的定义，作以下几点说明：（1）积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母记法无关，即bababaduufdttfdxxf)()()(。（2）定义中区间的分法与ξi的取法是任意的。（3）定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ→0必有n→∞，反之n→∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限：例：ninnifdxxf110n1)()(lim（此特殊合式在计算中可以作为公式使用）2.定积分的存在定理定理一若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理二若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。3.定积分的几何意义对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分badxxf)(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x)小于0时，围成的曲边梯形位于x轴下方，定积分badxxf)(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x轴，曲线y=f(x),x=a,x=b之间的各部分曲边梯形的代数和。4．定积分的性质线性性质（性质一、性质二）性质一babbadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([a和差的积分等于积分的和差；性质二babdxxfkdxxkf)()(a（k是常数）性质三对区间的可加性不管a,b,c相对位置如何，总有等式bccabadxxfdxxfdxxf)()()(性质四如果在区间[a,b]上，f(x)≡1，则abdxxfba)(性质五（保号性）如果在区间[a,b]上，f(x)≥0，则0)(badxxf推论一设f(x)≤g(x),x∈[a,b]，则babdxxgdxxf)()(a推论二dxxfdxxfbaba)()((ab)性质六（估值定理）设M和m分别是函数f(x)在区间[a,b]上最大值和最小值，则)()()(mabMdxxfabba性质七（定积分中值定理）设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少有一点ξ使得下式成立：))(()(abfdxxfba（本性质可由性质六和介值定理一块证得）5．积分上限函数及其导数设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若x为区间[a,b]上任意一点，则f(x)在区间[a,x]上定积分为xadxxf)(，此时x既表示积分变量又表示积分的上限，但两者的含义不同，因为定积分与积分变量的激发无关，故可改用其他符号，可用t表示积分变量，则上面的积分可写成xadttf)(，该积分会随着X的取定而唯一确定，随X的变化而变化。所以积分xadttf)(是定义在区间[a,b]上关于x的一个函数，记做Φ(x):Φ(x)=xadttf)((a≤x≤b)并称该函数为积分上限函数或积分变上限函数，它具有下面定理所指出的重要性质：定理一如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分上限函数Φ(x)在区间[a,b]上可导，且导数为Φ‘(x)=)()(xfdttfdxdxa（a≤x≤b）定理二（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数Φ(x)就是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。定理二肯定了连续函数的原函数是存在的，揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。定理三如果函数f(t)在区间I1上连续，a(x),b(x)在区间I2上都可导，并且f[a(x)],f[b(x)]构成I2上的复合函数，则F(x)=)()(a)(xbxdttf在I2上可导，且F‘(x)=)()()(dxbxadttfdx=f[b(x)]·b’(x)-f[a(x)]·a’(x)6.牛顿-莱布尼茨公式设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数F(x)是f(x)的一个原函数，则有bdxxfa)(=F(b)-F(a),这个公式称为牛顿-莱布尼茨公式。次公式揭示了定积分与原函数之间的关系，它表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量，而原函数的全体就是不定积分，故该公式将求定积分与不定积分联系起来了，又叫做微积分基本公式，在计算中常用到。7.定积分的常见积分方法换元法如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且函数x=(t)满足下列条件：（1）(α)=a,(β)=b;(2)在区间[α,β]上(t)具有连续导数且其值域R[a,b]，则有dtttfdxxfba)(')]([)(，此公式称为定积分的换元公式。注意：换元必换限，即用x=(t)把积分变量x换成t时，积分限一定要换成相应于新积分变量t的积分限；另外此公司反过来也可以用：badxxxfdttf)(')]([)(，其中)(),(ba定积分中的对称奇偶性：若f(x)在区间[-a,a]上连续，则：（1）当f(x)为奇函数时，aadxxf)(=0（2）当f(x)为偶函数时，aaadxxfdxxf0)(2)(三角函数的定积分公式：设f(x)在[0,1]上连续，则：（1）2020)(cos)(sinfdxxfdxx;(2)00)(sin2)(sindxxfdxxxf周期函数的定积分公式：如果T是连续函数f(x)的周期，则TTaadxxfdxxf0)()(（a为常数）分部积分法若函数u=u(x)，v=v(x)在闭区间[a,b]上具有连续导数，则有bababvduuvudva重要结论：设In=2020ncossinxdxxdxn，则（1）当n为正偶数时，In=22143231nnnn（2）当n为大于1的正奇数时，In=13254231nnnn常用到的不定积分的积分公式：三角函数的有理式积分：222212211cos12sinududxxtguuuxuux，　，　，　一些初等函数：两个重要极限：xxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim1sinlim0exxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020常见微分公式：8.无穷限的广义积分：设函数f(x)在区间[a,+∞]上连续，取ba，如果极限babdxxf)(lim存在，则此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞]上的广义积分，记做a)(dxxf，这时也称广义积分a)(dxxf收敛，如果上述极限不存在，则称该广义积分发散。同理也可得函数f(x)在无穷区间[-∞,b]上的广义积分。对于广义积分：只有在收敛的条件下才可使用上述“定积分中的对称奇偶性”。几条结论：（1）广义积分dxxap1，当p1时收敛，当p≤1是发散。（2）广义积分apxdxe当p0时收敛，当p0时发散。9.无界函数的广义积分：设函数f(x)在区间（a,b]上连续，点a为函数f(x)的瑕点，取ta，如果极限btatdxxf)(lim存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分，记做bdxxfa)(，即bdxxfa)(=btatdxxf)(lim。axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(22222211)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx这时也称广义积分收敛，如果上述极限不存在，就称广义积分发散。同理，可得f(x)在区间[a,b）上的瑕积分,即bdxxfa)(=tatdxxf)(limb对于无界函数的瑕积分（就是广义积分）的计算，也可以利用牛顿-莱布尼茨公式，如对于f(x)在区间（a,b]上的瑕积分有：bdxxfa)(=btatdxxf)(lim=F(b)-)(limxFax=F(x)-F(a+0)小结论：广义积分dxxp101当p1时收敛，当p≥1时发散。对于无界函数的广义积分（瑕积分）的计算，一般瑕点都会设置在区间(a,b)(或[a,b),(a,b][a,b])的内部一个点上。10.定积分的应用一、定积分在几何上的应用：（一）平面图形的面积1.直角坐标情形:对于有曲线x=a,x=b,y=f(x),y=g(x)围成的X型的曲边梯形，其面积的计算公式为：A=bdxxgxfa)()(（ab）对于由曲线y=c,y=d,x=f(y),x=g(y)所围成的Y型的曲边梯形的面积计算公式为：ddyygyfc)()(A(cd)2.参数方程情形：当曲边梯形的曲边f(x)(f(x)≥0,x∈[a,b])由参数方程x=)(t,y=)(t给出时，若,)(ab)(，且在[a,b]上)(t具有连续导数，y=)(t连续，则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可得曲边梯形的面积为：A=bdxxfa)(=dttt)()('4.极坐标情形：由曲线)(及射线，围成的曲边扇形的面积计算公式为A=d)(212（二）立体的体积1.旋转体的体积对于由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积计算公式为：V=badxxf2