利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

3.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结,0r,20.z一、利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标．就叫点个数，则这样的三的极坐标为面上的投影在为空间内一点，并设点设MzrrPxoyMzyxM,,,),,(规定：xyzo),,(zyxM),(rPr.,sin,coszzryrx柱面坐标与直角坐标的关系为为常数r为常数z为常数如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．),,(zyxM),(rPrzxyzodxdydzzyxf),,(.),sin,cos(dzrdrdzrrfdrxyzodzdrrd如图，柱面坐标系中的体积元素为,dzrdrddv例1计算zdxdydzI，其中是球面4222zyx与抛物面zyx322所围的立体.解由zzryrxsincos,zrzr34222,3,1rz知交线为23242030rrzdzrdrdI.413面上，如图，投影到把闭区域xoy.20,3043:22rrzr，例２　计算dxdydzyxI)(22，其中是曲线zy22，0x绕oz轴旋转一周而成的曲面与两平面,2z8z所围的立体.解由022xzy绕oz轴旋转得，旋转面方程为,222zyx所围成的立体如图，:2D,422yx.222020:22zrr:1D,1622yx,824020:21zrr所围成立体的投影区域如图，2D1D,)()(21222221dxdydzyxdxdydzyxIII12821DrfdzrdrdI,34522222DrfdzrdrdI,625原式I345625336.82402022rdzrrdrd22202022rdzrrdrd二、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标．就叫做点，，个数面上的投影，这样的三在为点的角，这里转到有向线段轴按逆时针方向轴来看自为从正轴正向所夹的角，与为有向线段间的距离，与点为原点定，其中来确，，可用三个有次序的数为空间内一点，则点设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM),,(Pxyzo),,(zyxMrzyxA,r0.20,0规定：为常数r为常数为常数如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．.cos,sinsin,cossinrzryrx球面坐标与直角坐标的关系为如图，Pxyzo),,(zyxMrzyxA，轴上的投影为在点，面上的投影为在设点AxPPxoyM.,,zPMyAPxOA则dxdydzzyxf),,(.sin)cos,sinsin,cossin(2ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为,sin2ddrdrdvdrxyzodrdsinrrdddsinr如图，例3计算dxdydzyxI)(22，其中是锥面222zyx，与平面az)0(a所围的立体.解:采用球面坐标az,cosar222zyx,4,20,40,cos0:ardxdydzyxI)(22drrdda40cos03420sinda)0cos(51sin255403.105a例4求曲面22222azyx与22yxz所围成的立体体积.解由锥面和球面围成，采用球面坐标，由22222azyx,2ar22yxz,4,20,40,20:ar由三重积分的性质知dxdydzV,adrrddV202020sin44033)2(sin2da.)12(343a解法（一）例5计算dxdydzzyx2)(其中是由抛物面22yxz和球面2222zyx所围成的空间闭区域.在球面坐标下分成两个部分：;20,40,20:1rV;sincos0,24,20:22rV在柱面坐标下：,20,10r,222rzr,122yx投影区域xyD：222222010)2sin1()sin(cos2rrdzrzrzrdrdI).89290(60解法（二）(类似于例1)补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１、积分区域关于坐标面的对称性；２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的一般地，当积分区域关于xoy平面对称，且被积函数),,(zyxf是关于z的奇函数，则三重积分为零，若被积函数),,(zyxf是关于z的偶函数，则三重积分为在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.奇偶性．例6利用对称性简化计算dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其中积分区域}1|),,{(222zyxzyx.解积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数,z.01)1ln(222222dxdydzzyxzyxz（1）柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz（2）球面坐标的体积元素ddrdrdxdydzsin2（3）对称性简化运算三重积分换元法柱面坐标球面坐标三、小结