03第三章 导数与微分

1第三章导数与微分一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1.理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题.2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式.3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法.4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法.5.了解可导、可微、连续之间的关系.重点导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法.难点求复合函数和隐函数的导数的方法.（二）内容提要1.导数的概念⑴导数设函数)(xfy在点0x的某一邻域内有定义，当自变量x在点0x处有增量)0(xx，xx0仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(00xfxxfy，若极限0000()()limlimxxfxxfxyxx存在，则称)(xf在点0x处可导，并称此极限值为)(xf在点0x处的导数，记为)(0xf，也可记为0000dddd,,)(xxxfxxxyxxyxy或，即xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00000.若极限不存在，则称)(xfy在点0x处不可导.若固定0x，令xxx0，则当0x时，有0xx，所以函数)(xf在点0x处的导数)(0xf也可表示为0000)()(lim)(xxxfxfxfx.⑵左导数与右导数2①函数)(xf在点0x处的左导数)(0xf＝xxfxxfxyxx)()(limlim0000.②函数)(xf在点0x处的右导数)(0xf＝xxfxxfxyxx)()(limlim0000.③函数)(xf在点0x处可导的充分必要条件是)(xf在点0x处的左导数和右导数都存在且相等．２．导数的几何意义⑴曲线的切线在曲线上点M的附近，再取一点1M，作割线1MM，当点1M沿曲线移动而趋向于M时，若割线1MM的极限位置MT存在，则称直线MT为曲线在点M处的切线．⑵导数的几何意义函数)(xfy在点0x处的导数表示曲线)(xfy在点))(,(00xfx处的切线斜率.关于导数的几何意义的3点说明:①曲线)(xfy上点),(00yx处的切线斜率是纵标变量y对横标变量x的导数.这一点在考虑用参数方程表示的曲线上某点的切线斜率时优为重要.②如果函数)(xfy在点0x处的导数为无穷(即xyx0lim,此时)(xf在0x处不可导),则曲线)(xfy上点),(00yx处的切线垂直于x轴.③函数在某点可导几何上意味着函数曲线在该点处必存在不垂直于x轴的切线.3.变化率函数的增量与自变量增量之比，在自变量增量趋于零时的极限，即导数.在科学技术中常常把导数称为变化率(即因变量关于自变量的变化率就是因变量关于自变量的导数).变化率反映了因变量随着自变量在某处的变化而变化的快慢程度.4.可导与连续的关系若函数)(xfy在点x处可导，则)(xfy在点x处一定连续.但反过来不一定成立，即在点x处连续的函数未必在点x处可导.5.高阶导数3⑴二阶导数函数)(xfy的一阶导数)(xfy仍然是x的函数，则将一阶导数)(xf的导数))((xf称为函数)(xfy的二阶导数，记为)(xf或y或22ddxy，即y=)(y或22ddxy=xyxdddd.⑵n阶导数)1(n阶导数的导数称为n阶导数（n=3，4，,)1(n,n）分别记为)(xf,)()4(xf,,)()1(xfn,)()(xfn，或y,)4(y,,)1(ny,ny，或33ddxy,44ddxy,11ddnnxy,nnxydd，二阶及二阶以上的导数称为高阶导数.6.微分⑴微分的定义如果函数)(xfy在点x处的改变量)()(xfxxfy，可以表示成)(xoxAy，其中)(xo是比)0(xx高阶的无穷小，则称函数)(xfy在点x处可微，称xA为y的线性主部，又称xA为函数)(xfy在点x处的微分，记为yd或)(dxf，即xAyd.⑵微分的计算xxfxfd)()(d，其中xxd,x为自变量.⑶一阶微分形式不变性对于函数)(uf,不论u是自变量还是因变量,总有uufufd)()(d成立.7.求导公式微分公式表3.1给出了基本初等函数的求导公式及微分公式.表3.1求导与微分公式求导公式微分公式4基本初等函数求导公式0c)(为常数c基本初等函数微分公式0dc)(为常数c1)(xx)(为实数1d()dxxx)(为实数aaaxxln)(xaaaxxdln)(dxxe)e(xxxde)e(daxxaln1)(logxaxxadln1)(logdxx1)(lnxxxd1)(lndxxcos)(sinxxxdcos)(sindxxsin)(cosd(cos)sindxxxxx2sec)(tanxxxdsec)(tand2xx2csc)(cotxxxdcsc)(cotd2xxxtansec)(secxxxxdtansec)(secdxxxcotcsc)(cscxxxxdcotcsc)(cscd211)(arcsinxxxxxd11)(arcsind2211)(arccosxxxxxd11)(arccosd2211)(arctanxxxxxd11)(arctand2211)cotarc(xxxxxd11)cotarc(d2对求导公式作如下两点说明:(1)求导公式})]([{xf表示函数)]([xf对自变量x的导数，即})]([{xf=xxfd)]([d,(2)求导公式)]([xf表示函数)]([xf对函数)(x的导数，即)]([xf=)(d)]([dxxf.8.求导法则微分法则⑴求导法则,微分法则见下表3.2⑵复合函数求导法则⑶参数方程求导法则⑷隐函数求导法⑸对数求导法表3.2求导与微分法则表5求导法则微分法则函数的四则运算求导法则)()()()(xxuxxu函数的四则运算微分法则)(d)(d)()(dxxuxxu)()()()()()(xxuxxuxxu)()(xucxuc)(为常数c)(d)()(d)()()(dxvxuxuxxxu)(d)(dxucxcu)(为常数c)0)(()()()()()()()(2xxxxuxxuxxu)0)(()()()(12xxxx)0)(()()(d)()(d)()()(d2xxxxuxuxxxu)0)(()()(d)(1d2xxxx复合函数求导法则设)(ufy，)(xu，则复合函数)(xfy的导数为xuuyxydddddd复合函数微分法则设函数)(ufy，)(xu,则函数)(ufy的微分为uufyd)(d，此式又称为一阶微分形式不变性参数方程确定的函数的导数若参数方程)()(tytx确定了y是x的函数，则txtyxydddddd或xydd=)()(tt6反函数求导法则设)(xfy的反函数为)(yx，则)0)(()(1)(yyxf或yxxydd1dd9.微分近似公式（1）微分进行近似计算的理论依据对于函数)(xfy,若在点0x处可导且导数0)(0xf，则当x很小时，有函数的增量近似等于函数的微分,即有近似公式yyd.(2)微分进行近似计算的4个近似公式设函数)(xfy在点0x处可导且导数0)(0xf，当x很小时，有近似公式yyd，即xxfxfxxf)()()(000，xxfxfxxf)()()(000，令xxx0，则))(()()(000xxxfxfxf，特别地，当00x，x很小时，有xffxf)0()0()(.二、主要解题方法1．用导数的定义求函数导数的方法例1求xxy在0x处的导数.解由导数的定义知0lim0lim)0()0(lim)0(000xxxxxfxffxxx.例2求，，xxxf1ln)(00xx，的导数.解当0x时，xxf11)(，当0x时，1)(xf，当0x时，xfxfxfxffxx)0()(lim0)0()(lim)0(00，7所以10lim)0(0xxfx，1eln)1ln(lim0)1ln(lim)0(100xxxxxxf，因此1)0(f，于是,1,11)(xxf.0,0xx小结求分段函数的导数时，除了在分界点处的导数用导数定义求之外，其余点则仍按初等函数的求导公式求得.2．用和、差、积、商及复合函数的求导法则求导的方法例3设,1)(33xxxxxf求)(xf.解3161323311)(xxxxxxxxf，154363211()363fxxxx.例4设)1ln(xxy求y.解利用复合函数求导法求导，得)1(11])1[ln(222xxxxxxy])1(1[1122xxx])1(1211[11222xxxx11]11[11222xxxxx.小结若函数变形后能简化求导运算，应先简化后再求导，在求8高阶导数时更要注意这一点.另外，还要注意应用四则运算法则的前提条件是：函数)(xf在点0x可导，否则法则失效.如xxy在0x点，用四则运算法则求导，)0(y不存在，但由例1知xxy在0x的导数为0.对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.3．对数求导方法例5已知y=xxxx22)2()1(，求y.解两边取对数，得：)2ln(2)1ln(ln1ln2xxxxy，两边对同一自变量x求导，得]22121[1)]2ln(2)1ln([ln11222xxxxxxxxxyy，])2(2121)2()1(ln1[)2()1(2222222xxxxxxxxxxxyx.小结对数求导法适合两类函数的求导：（1）幂指函数，（2）函数是由几个初等函数经过乘、除、乘方、开方构成的.4．隐含数的求导法例6已知22arctanln,xxyy求y.解两端对x求导，得)(1)()(1122222yxyxyxyx，222222222221yxyyxyxyyxyyxy，整理得xyyxy)(，故xyxyy，9上式两端再对x求导，得22)()())(1())(1(xyxyyxyyxyxyyyxyxyyxyyy=2)(22xyyyx，将xyxyy代入上式，得2)(22xyyxyxyxy322)(2222yxxyyxxy322)()(2xyyx.小结在对隐函数求二阶导数时，要将y的表达式代入y中，注意，在y的最后表达式中，切不能出现y.5．由参数方程所确定的函数的求导法例7设cossinxttyt，，求22ddxy.解d(sin)cosd1sin(cos)yttxttt，22dddcosdcosdcos1()()()dddd1sind1sind1sindyyttttxxxxtttx