微分方程在经济学中的应用

1第四节微分方程在经济学中的应用微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型，即以所研究的经济量为未知函数，时间t为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策，下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用．一、供需均衡的价格调整模型在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定，或者说，某商品的供给量S及需求量D与该商品的价格有关，为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为Sa1b1P,DabP,其中a1,b1,a,b均为常数，且b1＞0,b＞0；P为实际价格．供需均衡的静态模型为).()(,,11PSPDPbaSbPaD显然，静态模型的均衡价格为Pe11bbaa．对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉（Ｗalras）假设：超额需求［D(P)S(P)］为正时，未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价，因而价格上涨；反之，价格下跌，因此，t时刻价格的变化率与超额需求DS成正比，即tPddk(DS)，于是瓦尔拉假设下的动态模型为)].()([),(),(11PSPDktPtPbaStbPaDdd整理上述模型得tPdd(PeP),其中k(bb1)＞0,这个方程的通解为P(t)PeCet．假设初始价格为P(0)P0,代入上式得，CP0Pe,于是动态价格调整模型的解为P(t)Pe(P0Pe)·et，由于＞0，故lim()tPtPe．这表明，随着时间的不断延续，实际价格P(t)将逐渐趋于均衡价格Pe．二、索洛(Solow)新古典经济增长模型2设Y(t)表示时刻t的国民收入，K(t)表示时刻t的资本存量，L(t)表示时刻t的劳动力，索洛曾提出如下的经济增长模型：.),(),1,(),(0tLLtsYtKrLfLKfYedd其中s为储蓄率(s＞0)，为劳动力增长率(＞0)，L0表示初始劳动力(L0＞0)，rLK称为资本劳力比，表示单位劳动力平均占有的资本数量．将KrL两边对t求导，并利用tLddL，有rLtrLtLrtrLtKdddddddd．又由模型中的方程可得tKddsLf(r,1),于是有trddrsf(r,1)．(1041)取生产函数为柯布道格拉斯(CobbDouglas)函数，即f(K,L)A0KL1＝A0Lr，其中A0＞0，0＜＜1均为常数．易知f(r,1)A0r，将其代入(1041)式中得trddrsA0r．(1042)方程两边同除以r，便有rtrddr1sA0．令r1z,则tzdd(1)trdd,上述方程可变为tzdd(1)zsA0(1)．这是关于z的一阶非齐次线性方程，其通解为zCe(1)t0sA(C为任意常数)．以zr1代入后整理得r(t)110)1(sACte．当t0时，若r(0)r0,则有Cr01－sA0．于是有3r(t)110)1(010(sAAsrt)e-．因此，110)()(limAstrt．事实上，我们在(1042)式中，令trdd0,可得其均衡值re110)(As.三、新产品的推广模型设有某种新产品要推向市场，t时刻的销量为x(t),由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t时刻产品销售的增长率txdd与x(t)成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N，统计表明txdd与尚未购买该产品的潜在顾客的数量Nx(t)也成正比，于是有txddkx(Nx)，(1043)其中k为比例系数，分离变量积分，可以解得x(t)kNtCNe1(1044)方程(1043)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(1044)也称为逻辑斯谛曲线．由txdd221kNtkNtCkCNee以及22txdd3231)1(kNtkNtkNtCCkCNeee，当x(t*)＜N时，则有txdd＞0，即销量x(t)单调增加．当x(t*)2N时，22txdd0;当x(t*)＞2N时，22txdd＜0；当x(t*)＜2N时，22txdd＞0．即当销量达到最大需求量N的一半时，产品最为畅销，当销量不足N一半时，销售速度不断增大，当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(1044)的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传，而在产品用户达到20%到80%期间，产品应大批量生产，在产品用户超过80%时，应适时转产，可以达到最大的经济效益．4习题1041．某公司办公用品的月平均成本C与公司雇员人数x有如下关系：C′C2ex2C且C(0)1,求C(x)．2．设RR(t)为小汽车的运行成本，SS(t)为小汽车的转卖价值，它满足下列方程：R′Sa,S′bS,其中a,b为正的已知常数，若R(0)0,S(0)S0(购买成本)，求R(t)与S(t)．3．设DD(t)为国民债务，YY(t)为国民收入，它们满足如下的关系：D′Y,Y′Y其中,,为正已知常数．(1)若D(0)D0,Y(0)Y0,求D(t)和Y(t);(2)求极限)()(limtYtDt．4．设CC(t)为t时刻的消费水平，II(t)为t时刻的投资水平，YY(t)为t时刻的国民收入，它们满足下列方程.0,,,,0,10,,为常数均为常数kCkIbababaYCICY(1)设Y(0)Y0，求Y(t),C(t),I(t);(2)求极限)()(limtItYt5．某养殖场在一池塘内养鱼，该池塘最多能养鱼5000条，鱼可以自然繁殖，因此鱼数y是时间t的函数yy(t)，实验表明，其变化率与池内鱼数y和池内还能容纳的鱼数(5000y)的乘积成正比，若开始放养的鱼为400条，两个月后池塘内鱼的数量为550条，求放养半年后池塘内鱼的条数．