计算方法-数值积分

第5章数值积分若函数f(x)在区间［a,b］上连续且其原函数为F(x),则可用牛顿―莱布尼兹公式，来求定积分。(5―1))()()(aFbFdxxfbabadxxfI)(求定积分复习函数关系由表格或图形表示,无法求出原函数。定积分计算可能遭遇的三种情况被积函数的原函数不是初等函数被积函数f(x)没有具体的解析表达式被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到第5章数值积分baxdxe2xxxln1,sin从几何上看定积分定积分是曲边梯形的面积图5.1左矩形右矩形(5―2)(5―3)图5.2梯形面积图5.3抛物求积()[()()]2babafxdxfafb(5―4)(5―5)()[()4()()]62babaabfxdxfaffb第5章数值积分近似值§5.1§5.2§5.4牛顿―柯特斯(Newton―Cotes)公式复合求积公式龙贝格(Romberg)积分方法badxxfI)(5.1牛顿―柯特斯(Newton―Cotes)公式建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简单又有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于是有现用第四章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函数f(x),即有()()bbaafxdxxdx()()bbnaafxdxPxdx将积分区间[a,b]n等分，则节点是等距分布的，节点x0,x1,x2,…,xn可表示成xk=x0+kh(k=0,1,…,n)，其中x0=a,xn=b,nabh称为步长。Newton-Cotes公式nkkknxlxfxL0)()()()())(()()(0knkbakbanbaxfdxxldxxLdxxfIbankjjjkjbakkdxxxxxdxxlA)()(0nkkkbaxfAdxxf0)()(若Ln(x)为Lagrange插值多项式，则由公式于是令(5.5)公式(5.6)称为等距节点内插求积公式。则有(5.6)求Akhaxtbxant0nnkjjknnnkjjknkdtjtknknabdtjtknkhA0000)()!(!)1()()()!(!)1(nnkjjknnkdtjtknknC00)()()!(!)1()()(nkkCabAnknkbakhxfCabdxxf00)()()()(在等距节点前提下，做变换，由，可得而x-xj=(t-j)h(j=0,1,2,…,n)，xk-xj=(k-j)h(j,k=0,1,2,…,n且j≠k)。于是(5.5)式即为记则(5.9)bankjjjkjbakkdxxxxxdxxlA)()(0称为牛顿-柯特斯公式。其中Ck(n)叫Cotes系数，Cotes系数与被积函数及积分区间无关。计算柯特斯系数21)1(!1!01)1(10)1(0dttC21!0!11)1(100)1(1tdtC61)2)(1(!2!02)1(202)2(0dtttC64)2(!1!12)1(201)2(1dtttC61)1(!0!22)1(200)2(2dtttC81,83,83,81)3(3)3(2)3(1)3(0CCCC907,9032,9012,9032,907)4(4)4(3)4(2)4(1)4(0CCCCCn=1时，有两个Cotes系数n=2时，有三个Cotes系数类似可得，n=3时有四个Cotes系数n=4时，有五个Cotes系数nnkjjknnkdtjtknknC00)()()!(!)1(几个常用的牛顿-柯特斯公式)](21)(21)[(bfafabI)](61)(64)(61)[(bfcfafabI2abc)](7)(32)(12)(32)(7[90bfefdfcfafabIn=1时，，此即(5.3)式，为梯形公式。，其中，称为Simpson公式。其中c,d,e为[a,b]的四等分点，称为Cotes公式。n=2时，n=4时，表5―1柯特斯系数柯特斯系数C(n)i仅与n和i有关,与被积函数f(x)无关,且满足()01nniiC(5―15)柯特斯公式对f(x)=1是准确成立的。柯特斯系数的特点nknkbakhxfCabdxxf00)()()()(例1试分别用梯形公式和辛普森公式计算积分解:利用梯形公式10.5xdx10.510.5(0.51)20.4267767xdx利用抛物线公式443093.0)175.045.0(65.0115.0dxx原积分的准确值31120.50.520.430964413xdxx5.1.2误差估计现对牛顿―柯特斯求积公式所产生的误差作一个分析。牛顿―柯特斯求积公式的余项为易知,牛顿―柯特斯求积公式对任何不高于n次的多项式是准确成立的。这是因为f(n+1)(ξ)≡0故Rn(f)≡0(1)11()()()(1)!bnnnaRffxdxn(5―10)代数精度一般说来,若某个求积公式对于次数不高于m的多项式都准确成立(即Rn(f)≡0),而对于某一次数为m+1的多项式并不准确成立(即Rn(f)≠0),则称这一求积公式的代数精度为m。牛顿―柯特斯求积公式的代数精度至少为n，若n为偶数，则至少具有n+1次代数精度。通常在基点个数相等的情况下,代数精度愈高,求积公式愈精确。梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式分别具有1、3、5次代数精度。例5.1分别利用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算,n=1,2,3,4,5，并与用牛顿-莱布尼兹公式计算的结果进行比较。10dxxn解计算结果列于表5-2中。表5-2函数f(x)xx2x3x4x5梯形值0.50.50.50.50.5Simpson值0.50.3333330.250.2083330.1875Cotes值0.50.3333330.250.200.166667准确值0.50.3333330.250.200.166667定理2(抛物线公式的误差)设f(x)在［a,b］上有连续的四阶导数,则抛物线公式的误差为定理1(梯形公式的误差)设f(x)在区间［a,b］上具有连续的二阶导数,则梯形求积公式的误差为如果在每个子区间上使用梯形公式，就得到复合梯形公式。将积分区间[a,b]N等分后的节点记为xk，xk=a+kh(k=0,1,2,…,N)，在每个子区间[xk,xk+1](k=0,1,2,…，N-1)上应用梯形公式，)](21)(21[)(11kkxxxfxfhdxxfkk1.复合梯形公式5.2复合求积公式再求和得：)]()(2)([2)](21)(21[)](21)(21[)](21)(21[1112110bfxfafhxfxfhxfxfhxfxfhINkkNN1.复合梯形公式)]()(2)([211bfxfafhTNkkN其中xk=a+kh(k=0,1,2,…,N)，Nabh1.复合梯形公式2.复合Simpson公式)]()(4)([6)(22122222kkkxxxfxfxfhdxxfkk如果在每个子区间上使用Simpson公式，就得到复合Simpson公式。将N等分后的每个子区间再对分一次，于是共有2N+1个节点，(k=0,1,2,…,2N)，在每个N等分的子区间[x2k,x2k+2](k=0,1,2,…,N-1)上应用Simpson公式，2hkaxk再求和得：)]()(2)(4)([6)]()(4)([6)]()(4)([6)]()(4)([6112112122243221bfxfxfafhbfxfxfhxfxfxfhxfxfafhINkkNkkNN2.复合Simpson公式其中(k=0,1,2,…,2N)，Nabh2.复合Simpson公式)]()(2)(4)([6112112bfxfxfafhSNkkNkkN2hkaxk其中(k=0,1,2,…,4N)，Nabh3.复合Cotes公式4hkaxk)](7)(14)(32)(12)(32)(7[90114114124134bfxfxfxfxfafhCNkkNkkNkkNkkN4、复合Simpson公式算法(1)输入a,b,N(2)axafsNabh),(,2(3)当i=1,2,…,N时做循环①x=x+h②s=s+4f(x)③x=x+h④s=s+2f(x)(4)))((3bfshs例5.2：利用数据表xk01/81/43/81/25/83/47/81f(xk)43.938463.764703.506853.200002.876402.460002.265492计算积分dxxI102*14这个问题有明显的答案1415926.3|arctg410*xI取n=8用复合梯形公式13899.31872432852212832412812)0(21818fffffffffT取n=4,用辛普森公式14159.31874432854212834412814)0(61414fffffffffS二、复合求积公式的余项梯形公式的余项为对于复合梯形公式则有)),(()(12)(][3bafabTRNfffhNfffhTINNN)()()(12)]()()([12213213],[1kkkxx若在[a,b]上连续，则存在，使)(xf),(baNffffn)()()()(211、复合梯形公式的余项),(),(122bafhabTIN所以)(xf由在[a,b]上连续可知，在[a,b]上有界，于是存在常数M2，使，)(xf2)(maxMxfbxa1、复合梯形公式的余项2212MhabTIN故2、复合Simpson公式的余项同理),(,)(2880)4(4bafhabSIN由在[a,b]上连续可知，在[a,b]上有界，于是存在常数M4，使)()4(xf4)4()(maxMxfbxa)()4(xf442880MhabSIN故3、复合Cotes公式的余项由在[a,b]上连续可知，在[a,b]上有界，于是存在常数M6，使)()6(xf6)6()(maxMxfbxa)()6(xf同理),()(1935360)6(6bafhabCIN661935360MhabCIN故n当时，，于是从这些余项公式可以看出，当时，复合求积公式TN,SN,CN都收敛于定积分值I，而且收敛速度一个比一个快。n0h二、复合求积公式的余项例5.3用复合梯形公式、复合Simpson公式、复合Cotes公式在取相同节点的情况下，计算定积分的近似值。设把区间8等分。10sindxxx解：把区间[0,1]8等分，81h，共有9个节点，节点表示为(k=0,1,2,…,8)。81kaxk9456908.0)]1()8(2)0([161)]()(2)([271118fkffbfxfafhTkNkkT(1)用复合梯形公式计算，相当于取81,8ThN(2)用复合Simpson公式计算，相当于取N=4，把区间[0,1]N等分，然后在每个子区间上使用Simpson公式，0,1...8)(k