定积分的应用： 平面曲线弧长

xoy0MAnMB1M2M1nM设A、B是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点BMMMMMAnni,,,,,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长||11niiiMM的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长.一、平面曲线弧长的概念设曲线弧为)(xfy)(bxa，其中)(xf在],[ba上有一阶连续导数xoyabxdxx取积分变量为x，在],[ba上任取小区间],[dxxx，以对应小切线段的长代替小弧段的长dy小切线段的长22)()(dydxdxy21弧长元素dxyds21弧长.12dxysba二、直角坐标情形例1计算曲线2332xy上相应于x从a到b的一段弧的长度.解,21xydxxds2)(121,1dxx所求弧长为dxxsba1].)1()1[(322323abab例2计算曲线dnynx0sin的弧长)0(nx.解nnxny1sin,sinnxdxysba21dxnxn0sin1ntxndtt0sin1dtttttn0222cos2sin22cos2sindtttn02cos2sin.4n曲线弧为,)()(tytx)(t其中)(),(tt在],[上具有连续导数.22)()(dydxds222))](()([dtttdttt)()(22弧长.)()(22dttts三、参数方程情形例3求星形线的全长.3cos,xattay3sin•轨迹:半径为半径为a的定圆滚动时,其上定点M的轨迹即为星形线的动圆圆周沿tM或分析：曲线为参数方程，由于星形线关于轴都对称,xy所以只须考虑第一象限中的情况。取参数为积分变量，t对把区间上所对应的曲线[0,],2t[0,],2t[,]ttdt段长用切线段长代替,则得到曲线弧长的微元sdsds的解析式。[0,].2t取参数为积分变量,t22()().dsxtytdt22210()()sxtytdt242242209cossin9sincosattattdt2033sin222atdta则所求曲线弧长为146.ssa解:曲线弧为)()(rr其中)(在],[上具有连续导数.sin)(cos)(ryrx)(22)()(dydxds,)()(22drr弧长.)()(22drrs四、极坐标情形例4求阿基米德螺线ar)0(a上相应于从0到2的弧长.解,ardrrs)()(22.)412ln(412222a20daa22220ad12dxxaxxdxaxIaxx222222dxaxxaxaax2222222dxadxaxaxxax2212222222222lnaxxaIaxxcaxxaaxxI2222221ln注：Ctttttdttttttdttdttttdtttttdtttttdttttdtdttttdt)tanseclntan(sec21sectanseclntansecsecsectansecsec)1(sectansecsectantansec)(sectantansec)(tansecsecsecsec332223故原式解：3sectdt平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式五、小结曲线方程参数方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分d)()(d22rrs直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小dtttsd)()(22思考题闭区间],[ba上的连续曲线)(xfy是否一定可求长？思考题解答不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．一、填空题：1、曲线xyln上相应于83x的一段弧长为____________；2、渐伸线)sin(costttax，)cos(sintttay上相应于变到从0t的一段弧长为______；3、曲线1r自43至34一段弧长为____________.二、计算半立方抛物线32)1(32xy被抛物线32xy截得的一段弧的长度.三、计算星形线tax3cos，tay3sin的全长.练习题四、求心形线)cos1(ar的全长.五、证明：曲线xysin)20(x的弧长等于椭圆2222yx的周长.六、在摆线),sin(ttax)cos1(tay上求分摆线第一拱成3:1的点的坐标.练习题答案一、1、23ln211；2、22a；3、23ln125.二、]1)25[(9823.三、a6.四、a8.六、)23,)2332((aa.