傅里叶积分变换

积分变换第六章傅氏变换返回前进§1傅里叶（Fourier）积分变换§2拉普拉斯(Laplace)积分变换主要内容注：积分变换的学习中，规定：12j§1傅里叶（Fourier）积分变换第六章傅氏变换返回前进傅里叶变换——又简称为傅氏变换内容：傅氏变换概念卷积与相关函数傅氏变换性质第六章傅氏变换返回前进一、傅氏变换1．傅氏积分定理若f(t)在(-∞,+∞)上满足下列条件：（1）f(t)在任一有限区间上满足条件：f(t)至多有有限个第一类间断点和极值点；（2）f(t)在无限区间(-∞,+∞)上绝对可积（即积分ttfd)(ded)e(21)(jjtττftf收敛），则有（1）成立，而左端的f(t)在它的间断点t处，应以2)0()0(tftf来代替。第六章傅氏变换返回前进2．傅氏变换的概念若函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件，则在f(t)的连续点处，式（1）ded)e(21)(jjtττftf成立。设ttfFtde)()(j则de)(21)(jtFtf（2）（3）第六章傅氏变换返回前进从上面两式可以看出，f(t)和F(ω)通过指定的积分运算可以相互表达。将（2）式叫做的傅氏变换式，记为)(FF(ω)叫做f(t)的象函数，（3）式叫做F(ω)的傅氏逆变换式，记为)(tff(t)叫做F(ω)的象原函数。（2）式右端的积分运算，叫做取f(t)的傅氏变换；（3）式右端的积分运算，叫做取F(ω)的傅氏逆变换。象函数F(ω)和象原函数f(t)构成一个傅氏变换对。F)(tfF-1)(F第六章傅氏变换返回前进3．例子例1求指数衰减函数函数的傅氏变换及其积分表达式，其中β0。0,e0,0)(tttft第六章傅氏变换返回前进解：根据（2）式，傅氏变换为de)(ttftj0de)(ttftj0de)(ttftjF)(F)(tf第六章傅氏变换返回前进tttttdedee0)j(j022jj1通过傅氏逆变换，可求得指数衰减函数的积分表达式。由（3）式，并利用奇偶数的积分性质，可得de)(21tjFj22dj21te)(tf)(1FF第六章傅氏变换返回前进2222d)sin)(cos(21tjtj22222222d)cossin()sincos(21ttjttd)cossin()sincos(2122222222ttjttdsincos1022tt第六章傅氏变换返回前进由傅氏积分定理，可得到一个含参量广义积分的结果：0,;0,2;0,0dsincos022tettttt第六章傅氏变换返回前进4．单位脉冲函数（狄拉克---Dirac函数）设t0,1t0t,0)(或t定义单位脉冲函数为)(lim)(0tt第六章傅氏变换返回前进单位脉冲函数的一些性质：dt(t)11lim)(lim)(lim0000dtdttdtt若f(t)为无穷可微的函数，则)0(d)()(fttfta.b.证明记ttftd)()(dttftdttft)()(lim)()(lim00)0()(1lim00fdttf更一般地有)(d)()(00tfttftt第六章傅氏变换返回前进单位脉冲函数的傅氏变换c.证明1)(t1de)(0j-ttjtetF)(F)(tF)(F第六章傅氏变换返回前进例3证明单位阶跃函数0,10,0)(tttu变换为)(j1的傅氏解：只需证明的傅氏逆变换为u(t)。)(j1de)(j121jtdsin21d)e(21jtt)(tfF-1)(F第六章傅氏变换返回前进dtsin1210由于0,20,0;0,2dsin0tttt故;0,1;0,0;0,2121;0,2121dsin121)(0ttttttf第六章傅氏变换返回前进这表明的傅氏逆变换为u(t)。u(t))(j1)(j1和构成了一个傅氏变换对。同时得到单位阶跃函数u(t)的一个积分表达式)0(dsin121)(0tttu第六章傅氏变换返回前进所以1和构成了一个傅氏变换对;和也构成了一个傅氏变换对。类似的方法可得)(2te0j)(201)(2tje0)(20F-1F-1第六章傅氏变换返回前进例4求正弦函数的傅氏变换。ttf0sin)(解：0jsinetdtttetttde2jejjj00tttdeej21)j()j(00)(2)(2j2100)()(00jF)(F)(tf第六章傅氏变换返回前进我们可以看出引入δ-函数后，一些在普通意义下不存在的积分，有了确定的数值。工程技术上许多重要函数的傅氏变换都可以利用δ-函数及其傅氏变换很方便地表示出来，并且使许多变换的推导大大地简化。第六章傅氏变换返回前进5．非周期函数的频谱傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系，这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本概念。在频谱分析中，当非周期函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件时，将f(t)的傅氏变换F(ω)称为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模|F(ω)|称为f(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。对一个时间函数作傅氏变换，就可求出这个时间函数的频谱。由于F(ω)是随ω连续变化的，因而称|F(ω)|为连续频谱。第六章傅氏变换返回前进例5作出图1-8中所示的单个矩形脉冲的频谱图。图1-8第六章傅氏变换返回前进解根据定义，单个矩形脉冲的频谱函数为ttfFtde)()(jtEetd22j2sin2τE振幅频谱2sin2)(τEF0部分的频谱图如图1-9所示。第六章傅氏变换返回前进图1-9第六章傅氏变换返回前进振幅频谱|F(ω)|的一个性质：振幅频谱|F(ω)|是频率ω的偶函数，即)()(FF事实上，ttfFtde)()(jtttftttfdsin)(jdcos)(所以22dsin)(dcos)()(tttftttfF显然有)()(FF第六章傅氏变换返回前进记dcos)(dsin)(arctan)(tttftttf称为f(t)的相角频谱。)(可看出，相角频谱是ω的奇函数，即)()()(第六章傅氏变换返回前进例6求指数衰减函数)0(0,e;0,0)(tttft的频谱。解根据例1的结果，j1)(F所以指数衰减函数的频谱221)(F第六章傅氏变换返回前进例7作单位脉冲函数及其频谱图。)(t解由于1de)()(jttFt所以单位脉冲函数的频谱1)(F及其频谱图表示在图1-11中。)(t图1-11第六章傅氏变换返回前进同样，当时，。而f(t)的振幅频谱为)()(0tttf0je)(tF1)(F在物理学和工程技术中，将会出现很多非周期函数，它们的频谱求法，可通过查用傅氏变换（或频谱）表来求得。第六章傅氏变换返回前进6.傅氏变换的性质本节将介绍傅氏变换的几个重要性质，我们假定在这些性质中，求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件，并设是常数。,)(1F)(1tfF)(2FF)(2tf)(1tf)(11FF)(2tf)(21FF第六章傅氏变换返回前进a.线性性质)()()()(2121FFtftf（1）F证明：只需根据定义就可推出。傅氏逆变换也具有类似的线性性质这个性质表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合。)()()()(F2121-1tftfFF（2）第六章傅氏变换返回前进b.位移性质0j0e)(tttf)(tfFF（3）这表明时间函数f(t)沿t轴向左向右位移t0的傅氏变换等于f(t)的傅氐变换乘以因子或。0jet0jet证由傅氏变换的定义，可知tttfttftde)()(j00Fuuftude)()(j0uufutde)(ejj00jet)(tfFutt0（令）第六章傅氏变换返回前进同样，傅氏逆变换具有类似的位移性质，即ttfFF0j01-e)()(（4）这表明频谱函数沿轴向左向右位移的傅氏变换等于f(t)的傅氐变换乘以因子或。)(F0t0jet0je第六章傅氏变换返回前进例1求矩形单脉冲其他,0τ0,)(tEtf的频谱函数。解1根据傅氏变换的定义，有tEettfFttdde)()(0jj)jsincos1(jej0jττEEt2sine22jτET第六章傅氏变换返回前进解2前面介绍的矩形单脉冲其他,0;22,)(1τtτEtf的频谱函数为2sin2)(1τEF因为f(t)可以由f1(t)在时间轴上向右平移得到，利用位移性质有2τ)(F)(tfF)(e212j1Fτtfτ2sine22jτEτ=F且2sin2)()(1τEFF第六章傅氏变换返回前进c.微分性质若f(t)在(-∞,+∞)上连续或只有有限个可去间断点，且当,t0)(tf则j)(tf)(tf证由傅氏变换的定义，并利用分部积分可得ttftftde)()(jttftfttde)(je)(jjj)(tf这表明一个函数导数的傅氏变换等于这个函数的傅氏变换乘以因子。jFFFF第六章傅氏变换返回前进若在(-∞,+∞)上连续或只有有限个可去间断点，且推论：),,2,1)(()(nktfk1,,2,1,0,0)(lim)(nktfkt则有nntf)j()()()(tf（6）同样，可得象函数的导数公式。设)()(FtfF，则)(ddF)(jtft=-j)(tft一般地，有nnnF)j()(dd)(tftn（7）FFFFF第六章傅氏变换返回前进d.积分性质如果当时，ttttftg0d)()(，则j1d)(tttf)(tf（8）证因为)(d)(ddtfttftt所以tttftd)(dd)(tf根据微分性质：jd)(ddtttft