3_二重积分的计算(极坐标)

*三、二重积分的换元法第二节二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算为什么引用极坐标计算二重积分21D0yxD1D2D3D4D:之间的环域和yxyx4321DDDDI.怎么计算？Dyxy,xfId)d(需使用极坐标系！此题用直角系算麻烦必须把D分块儿!二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束又如计算其中.:222ayxD2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.由于机动目录上页下页返回结束本题解法见后面例题8也积不出！—交换顺序积不出！—解：2222222222222/2/2/2/yayaxaayxaxayaaxdxedyedyedxe还可举例2222:,22ayxDdxdyeIDyx极坐标系下的面积元素DσyxfId),(将变换到极坐标系0Diriri+1iiiθrrΔΔ..iriσΔiiiiiθrrrrΔΔ2)Δ(),(iiηξiiiiiiθrηθrξsin,cosiiiniσηξfΔ),(lim1iiiiiiiniθrrθrθrfΔΔ)sin,cos(lim1Dθrrθrθrfdd)sin,cos(..iθ..是平均值)ir(利用极坐标计算二重积分iii+iI=iiiiiθrθrrΔ21Δ)Δ(2122rcos,θrx,θrysin?σd.,σd.机动目录上页下页返回结束用坐标线:=常数；r=常数分割区域D怎样利用极坐标计算二重积分(1)1.极点不在区域D的内部0ABFE)(1r)(2rDD:)()(21rrrrrrθrθrfθrθrd)sin,cos()()(21DyxyxfIdd),(Dyxy,xfId)d(r0ABFE)(1r)(2rDrrθrθrfθrθrd)sin,cos()()(21D:)()(21rrr.Dyxy,xfId)d(DyxyxfIdd),(1.极点不在区域D的内部r0ABFE)(1r)(2rDrrθrθrfθrθrd)sin,cos()()(21βαθdD:)()(21rrr.步骤：1从D的图形找出r,上、下限；2化被积函数为极坐标形式；3面积元素dxdy化为rdrd.Dyxy,xfId)d(DyxyxfIdd),(1.极点不在区域D的内部r2.极点位于区域D的内部0)(rDrrθrθrfθrd)sin,cos()(0rD:)(0rr20DyxyxfIdd),(怎样利用极坐标计算二重积分(2)Dyxy,xfId)d(r机动目录上页下页返回结束)(rD:)(0rr20rrθrθrfθrd)sin,cos()(0D0.Dyxy,xfId)d(DyxyxfIdd),(2.极点位于区域D的内部r机动目录上页下页返回结束)(rD:)(0rr20rrθrθrfθrd)sin,cos()(020d.D0步骤：1从D的图形找出r,上、下限；2化被积函数为极坐标形式；3面积元素dxdy化为rdrd.Dyxy,xfId)d(DyxyxfIdd),(2.极点位于区域D的内部r机动目录上页下页返回结束0yx变为极坐标形式把d)d,(DyxyxfI所围区域与0)(:222yayaxD2acos2ar..20cos20d)sin,cos(dπθarrθrθrfθ)(222ayax,arcos即解例1.DyxyxfIdd),(.代入令sincosθryθrx机动目录上页下页返回结束（第一象限部分）(极点不在区域D的内部)此题用直角系算麻烦，需使用极坐标系！21D0yxD:4321DDDDI变换到极坐标系20:πrrθrθrfθ2021d)sin,cos(d..之间的环域和yxyx例2.Dyxy,xfId)d(计算DyxyxfIdd),(D:=1和=2围成机动目录上页下页返回结束)d,(d变为极坐标形式把RyRyxyxfyI2R区域边界：x=0I.0yx即r=2Rsinr=2Rsin20sin20d)sin,cos(dπθRrrθrθrfθ例3.22yRyx2即πθ.机动目录上页下页返回结束DyxxyIddarctan计算所围第一象限部分y,xy,yx,yx:D0yx12y=xD4021darctantandπrrθθ4021ddπrrθθ2643..I例4.机动目录上页下页返回结束0yx4r=4cos所围xy,yx,xyx,xyx:D422xyx822xyxr=8cos8D12,rcos即即arctan即,rcos即例5.Dyxy,xfId)d(计算y=2xx=y机动目录上页下页返回结束0yx422xyx822xyxyx即xy2arctan即r=8cosD48.r=4cos21所围xy,yx,xyx,xyx:D,rcos即2arctan4cos8cos4d)sin,cos(dπθθrrθrθrfθ,rcos即例5..Dyxy,xfId)d(计算I=机动目录上页下页返回结束3261sin4ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203yx例6计算其中D为由圆所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203xy及直线,03yx解：平面闭区域.03xysin2roxy2436d机动目录上页下页返回结束例7.将积分化为极坐标形式RRRRRxRyxyfx21)d(d)d(d21RRRxyxyfxD1D2..R0yxDd)(tandarctanRRrrθfθ)d(tanarctanRθθfR...22xRyd)d(tanarctanRRrrθθfarctanR.I=I=机动目录上页下页返回结束r=R若f≡1则可求得D的面积d)(21202Dd思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:;0)1()(rDoyx)(rDoyx问的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动目录上页下页返回结束(极点位于区域D的内部)例8.计算其中.:222ayxD解:在极坐标系下,200:arD原式Drerard02)1(2ae2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算.ddrr20d由于故机动目录上页下页返回结束注:利用例8可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex事实上,当D为R2时,利用例8的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束例9.求球体被圆柱面xayx222所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解:设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVDcos2022d4arrra)322(3323aoxyza2机动目录上页下页返回结束时，请考虑用极坐标。为圆域、环域、扇形域且中，如果在或或DxygyxgyxgyxfdyxfD)()()(),(),(22常用D到D’的转换tgxyCtgyxryxaCosrDayaxaSinrDaayxarDyxayxarDayx;;;20,22:'))(4(;20,0:')()3(;0,20:'0,)2(;0,20:')1(222222222222222被积函数：、机动目录上页下页返回结束极坐标下的二次积分注释作业P138-1392;3;4(2),(4);5(2),(4);6第三节目录上页下页返回结束baxxfd)())((txtttfd)()]([定积分换元法三*、二重积分换元法),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足上在Dvuyvux),(,),()1(一阶导数连续;雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3)变换DDT:则Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf)),(),,((定理:,),(上连续在闭域设Dyxf变换:是一一对应的,vuvuJdd),(ovuDoyxDT机动目录上页下页返回结束oyxDovuD证:根据定理条件可知变换T可逆.用平行于坐标轴的,坐标面上在vou直线分割区域,D任取其中一个小矩T形,其顶点为),,(,),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhuvkv通过变换T,在xoy面上得到一个四边形,其对应顶点为)4,3,2,1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh令则12xx),(),(vuxvhux).,(,),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux机动目录上页下页返回结束14xx),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy)(),(ohvuuy同理得14yy)(),(okvuvy当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(机动目录上页下页返回结束vuvuJdd),(d因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf)),(),,((vuvuJdd),(例如,直角坐标转化为极坐标时,sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(机动目录上页下页返回结束例21.计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.解:令,,xyvxyu则2,2uvyuvx),(),(vuyxJvuevuDdd211ee2yxDxoy2121212121xyxye,ddyx)(DDD2vvuvuuov机动目录上页下页返回结束ybx2yax2Doyxxqy2xpy2,,22yxvxyu例22.计算由所围成的闭区域D的面积S.解:令Duvopqab则bvaqupD:D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd))((31abpq机动目录上页下页返回结束例23.试计算椭球体解:yxcDbyaxdd122222由对称性,1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax则D的原象为20,1:rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraaDcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的体积V.机动目录上页下页