积分的变换原理

§5.4定积分的换元法一、换元公式【定理】若1、函数在上连续；2、函数在区间上单值且具有连续导数；3、当在上变化时，的值在上变化，且，则有(1)证明：(1)式中的被积函数在其积分区间上均是连续，故(1)式两端的定积分存在。且(1)式两端的被积函数的原函数均是存在的。假设是在上的一个原函数，据牛顿—莱布尼兹公式有另一方面，函数的导数为这表明：函数是在上的一个原函数，故有：从而有对这一定理给出几点注解：1、用替换，将原来变量代换成新变量后，原定积分的限应同时换成新变量的限。求出的原函数后，不必象不定积分那样，将变换成原变量的函数，只需将新变量的上下限代入中然后相减即可。2、应注意代换的条件，避免出错。(1)、在单值且连续；(2)、3、对于时，换元公式(1)仍然成立。【例1】求【解法一】令当时，；当时，。又当时，有且变换函数在上单值，在上连续，由换元公式有【解法二】令当时，；当时，。又当时，，且变换函数在上单值，在上连续，由换元公式有注意：在【解法二】中，经过换元，定积分的下限较上限大。换元公式也可以反过来，即【例2】求解：设，当时，；当时，一般来说，这类换元可以不明显地写出新变量，自然也就不必改变定积分的上下限。二、常用的变量替换技术与几个常用的结论【例3】证明1、若在上连续且为偶函数，则2、若在上连续且为奇函数，则证明：由定积分对区间的可加性有对作替换得故有若为偶函数，则若为奇函数，则【例4】若在上连续，证明：1、2、并由此式计算定积分1、证明：设，2、证明：设，【例5】求解：令，故评注：这一定积分的计算并未求原函数，只用到了变量替换、定积分性质，这一解法值得我们学习。