曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)

第十章曲线积分与曲面积分参考答案-1-第十章曲线积分与曲面积分答案一、选择题1．曲线积分()sin()cosxLfxeydxfxydy与路径无关，其中()fx有一阶连续偏导数，且(0)0f，则()fxBA.1()2xxeeB.1()2xxeeC.1()2xxeeD.02．闭曲线C为1xy的正向，则CydxxdyxyCA.0B.2C.4D.63．闭曲线C为2241xy的正向，则224CydxxdyxyDA.2B.2C.0D.4．为YOZ平面上221yz，则222()xyzdsDA.0B.C.14D.125．设222:Cxya，则22()CxydsCA.22aB.2aC.32aD.34a6.设为球面2221xyz，则曲面积分222dS1xyz的值为[B]A.4B.2C.D.127.设L是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分Lyds[C]A.21B.21C.22D.228.设I=Ldsy其中L是抛物线2xy上点（0,0）与点(1,1)之间的一段弧,则I=[D]A.655B.1255C.6155D.121559.如果简单闭曲线l所围区域的面积为，那么是（D）A.lydyxdx21；B.lxdxydy21；第十章曲线积分与曲面积分参考答案-2-C.lxdyydx21；D.lydxxdy21。10．设2222:(0)SxyzRz，1S为S在第一卦限中部分，则有CA.14SSxdsxdsB.14SSydsydsC.14SSzdszdsD.14SSxyzdsxyzds二、填空题1.设L是以(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分Lydyxeydx)(2-22.S为球面2222azyx的外侧,则sdxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(03.12222yxyxxdyydx=24．曲线积分22()Cxyds，其中C是圆心在原点，半径为a的圆周，则积分值为32a5．设∑为上半球面2240zzyx，则曲面积分222dsyxz=32π6.设曲线C为圆周221xy,则曲线积分223dCxyxs2.7.设C是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分Cds)yx(1+28.设为上半球面224zxy，则曲面积分222d1sxyz的值为83。9.光滑曲面z=f（x，y）在xoy平面上的投影区域为D，则曲面z=f（x，y）的面积是DdyzxzS22)()(110．设L是抛物线3yx上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(24)Lxydx1211、cos,sin,30xtytztt设为螺旋线上相应于从到的一段弧，222()Ixyzds则曲线积分221。12、设L为222xya的正向，则22Lxdyydxxy2。第十章曲线积分与曲面积分参考答案-3-三、计算题1．22xyLeds，其中L为圆周221xy，直线yx及x轴在第一象限所围图形的边界。解：记线段OA方程2,02yxx，圆弧AB方程cos,0sin4xy线段OB方程0,01yx。则原式＝22xyOAeds＋22xyABeds＋22xyOBeds＝22202xedx＋40ed＋10xedx＝2(1)4ee＃2．2222[ln()]Lxydxyxyxxydy，其中L为曲线sin,0yxx与直线段0,0yx所围闭区域D的正向边界。解：利用格林公式，22Pxy，22[ln()]Qyxyxxy，则22Pyyxy，222Qyyxxy故原式＝()DQPdxdyxy2Dydxdysin200xdxydy＝3014sin39xdx＃3．22Lydxxdy，其中L为圆周222xyR的上半部分，L的方向为逆时针。解：L的参数方程为cossinxRtyRt，t从0变化到。故原式＝22220[sin(sin)cos(cos)]RtRtRtRtdt＝3220[(1cos)(sin)(1sin)cos]Rttttdt＝343R＃4．求抛物面22zxy被平面1z所割下的有界部分的面积。解：曲面的方程为22,(,)zxyxyD，这里D为在XOY平面的投影区域22{(,)1}xyxy。故所求面积＝221xyDzzdxdy2214()Dxydxdy第十章曲线积分与曲面积分参考答案-4-21200551146drrdr＃5、计算(sin)(cos)xxLeymydxeymdy，其中L为圆222()(0)xayaa的上半圆周，方向为从点(2,0)Aa沿L到原点O。解：添加从原点到点A的直线段后，闭曲线所围区域记为D，利用格林公式(sin)xPeymy，cosxQeym，cosxPeymy，cosxQeyx于是(sin)(cos)xxLeymydxeymdy＋(sin)(cos)xxOAeymydxeymdy＝22Dmamdxdy而(sin)(cos)xxOAeymydxeymdy＝20000adx，于是便有(sin)(cos)xxLeymydxeymdy＝22ma＃6．222222()()()Lyzdxzxdyxydz，其中L为球面2221xyz在第一卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ平面内的圆弧AB的参数方程0cossinxytzt，t从2变化到0。于是222222()()()AByzdxzxdyxydz＝0222[sin(sin)cos(cos)]ttttdt＝43由对称性即得222222222222()()()3()()()4LAByzdxzxdyxydzyzdxzxdyxydz＃7．(1)(1)(1)xdydzydzdxzdxdy，其中为平面1,0,xyzx0,y0z所围立体的表面的外侧。解：记1为该表面在XOY平面内的部分，2为该表面在YOZ平面内的部分，第十章曲线积分与曲面积分参考答案-5-3为该表面在XOZ平面内的部分，4为该表面在平面1xyz内的部分。1的方程为0,01,01zyxx，根据定向，我们有1(1)(1)(1)xdydzydzdxzdxdy＝1(1)zdxdy＝010112xyxdxdy同理，21(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy31(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy4的方程为1,01,01zxyyxx，故4(1)zdxdy01012(2)3xyxxydxdy，由对称性可得4(1)xdydz42(1)3ydzdx，故4(1)(1)(1)2xdydzydzdxzdxdy于是所求积分为112322＃8．计算曲面积分：()[2sin()](3)xySxyzdydzyzxdzdxzedxdy，其中S为曲面1xyz的外侧。解：利用高斯公式，所求积分等于1(123)uvwdxdydz=116832=8＃9.计算I=sxzdxdyyzdzdxxydydz，其中S为x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所围立体的表面外侧解：设V是x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所围的立体由Gass公式得:I=Vdxdydzzyx)(=yxxdzzyxdydx101010)(=81＃第十章曲线积分与曲面积分参考答案-6-10．计算I=ydzxdyzydxx2233,其中是从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB解：直线段AB的方程是123zyx；化为参数方程得：x=3t,y=2t,z=t,t从1变到0，所以：I=ydzxdyzydxx2233＝03221[(3)33(2)2(3)2]tttttdt＝48787013dtt＃11.计算曲线积分I=AMOxxdyyedxyye,)2cos()2sin(其中AMO是由点A(a,0)至点O(0,0)的上半圆周axyx22解：在x轴上连接点O(0,0),A(a,0)将AMO扩充成封闭的半圆形AMOA在线段OA上,OAxxdyyedxyye0)2cos()2sin(从而AMOOAAMOAAMO又由Green公式得:AMOAaxyxxxadxdydyyedxyye2242)2cos()2sin(2＃12.计算曲线积分dzydyxdxzL333其中L是z=2)(22yx与z=322yx的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向解：将L写成参数方程:x=cost,y=sint,z=2t:02于是:dzydyxdxzL333=20420cossin8tdtdtt=43另证：由斯托克斯公式得dzydyxdxzL333=dxdyxdxdzzdydzy)03()03()03(22222:2,1zxy上侧，则：2221333232001333cos4Lxyzdxxdyydzxdxdydrdr＃13.设曲面S为平面x+y+z=1在第一卦限部分，计算曲面S的面积I解：S在xoy平面的投影区域为：10,10),(xxyyxDxy第十章曲线积分与曲面积分参考答案-7-I=SdS=dxdyxyD3＝10103xdydx＝23)1(310dxx＃14.计算曲线积分Lyxdyyxdxyx22)()(其中L是沿着圆1)1()1(22yx从点A(0,1)到点B(2,1)的上半单位圆弧解：设22),(yxyxyxP，22),(yxyxyxQ当022yx时，22222)(2yxxyxyxQyP故：所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关则：Lyxdyyxdxyx22)()(=AByxdyyxdxyx22)()(=202)11(dxxx=21ln5-arctan2＃15.确定的值，使曲线积分2124d62dCxxyxxyyy在XoY平面上与路径无关。当起点为0,0，终点为3,1时，求此曲线积分的值。解：由已知，2124,62PxxyQxyy；由条件得PQyx,即12461,3xyx,3,13,1232232230,00,014d62d2263xxyxxyyyxyxy＃16.设曲面S为球面4222zyx被平面z=1截出的顶部，计算I=dSzS1解：S的方程为：224yxzS在xoy平面的投影区域为：3),(22yxyxDxyI=dxdyyxxyD2242＝2030242drrrd＝2ln4＃17.计算I=