瑕积分收敛的柯西准则

返回后页前页瑕积分的性质与收敛判别与无穷积分的§3瑕积分的性质与收敛判别则与比较判别法等.性质与收敛判别相类似,并有相应的柯西准返回后页前页定理11.7（瑕积分收敛的柯西准则）2121()d()d()d.bbuuuufxxfxxfxx()d()bafxxa瑕积分瑕点为收敛的充要条件是证()()d,(,),()dbbuaFufxxuabfxx设则lim().uaFu收敛的充要条件是存在由函数收敛的1212,(,)()(),uuaaFuFu，120,0,,(,)uuaa任给存在当时，柯西准则，此等价于0,0,返回后页前页2121()d()d()d.bbuuuufxxfxxfxx即性质11212,,ffxakk设函数与的瑕点同为1122(()())d,bakfxkfxx也收敛且12,()d()d,bbaafxxfxx为任意常数若和都收敛则1122(()())dbakfxkfxx1122()d()d.bbaakfxxkfxx性质2,(,),fxacab设函数的瑕点若则()d()d,bcaafxxfxx与同时收敛或同时发散且返回后页前页()d()d()d.bcbaacfxxfxxfxx性质3,(,]fxafab设函数的瑕点为在的任一,(),()d,baubuafxx闭区间[]上可积则收敛时()d,()d()d.bbbaaafxxfxxfxx也收敛且定理11.8(非负函数瑕积分的判别法)(,](),abfx若定义在上的非负函数在任意闭区间[,](),()dbaubuafxx上可积则收敛的充要条件返回后页前页(,],()d.buMuabfxxM是:存在，对任意定理11.9(比较法则)(,],abfg设定义在上的两个非负函数与瑕点同,[,](,]xaubab为在任何上都可积,且满足()(),(,].fxgxxab()d,()d;bbaagxxfxx则当收敛时必定收敛()d,()d.bbaafxxgxx发散时必定发散返回后页前页[,]()fgubaub若非负函数和在任何推论1则且上可积,lim,cxgxfax(i)0()d()d;bbaacfxxgxx时，与收敛性相同(ii)0()d()d;bbaacgxxfxx时，收敛可推得收敛(iii)()d()d.bbaacfxxgxx时，发散可推得发散返回后页前页[,](,]ubab在任何上可积.则有1(i)(),01,()d()bpafxpfxxxa当时收敛;1(ii)(),1,()d.()bpafxpfxxxa当时发散推论2(,],,faba设非负函数定义在上为瑕点且返回后页前页推论3(,],,faba设非负函数定义于为瑕点且在任[,](,]lim()(),pxaubabxafx何上可积.若则(i)01,0()dbapfxx当时，收敛;(ii)1,0()d.bapfxx当时，发散~sin~tan~arcsin~arctanxxxxx利用可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.~ln(1)~e1(0),xxx返回后页前页例12313sind.1lnxxxx判别瑕积分的收敛性1,x解瑕点为1321333sin1sin.ln(1)(1)ln(11)1xxxxxxxx由于2133sinsin10(1),(1)3xxxx而131343111~,(1)ln(11)(1)(1)(1)xxxxx返回后页前页22433311dsind.(1)1lnxxxxxx因此由发散知发散例210lnd.xxx判别瑕积分的收敛性解0ln0((0,1]).xxx是瑕点,由于3/41400lnlimlimln0,xxxxxxx1100lnln3dd.xxxxxx因此由推论知收即,收敛敛返回后页前页10()d1axaxx的收敛性.11101()dd11aaxxaxxxx(i)().10,1;Iaaa先讨论当即时它是定积分讨论反常积分例3()a把反常积分写成解()().IaJa返回后页前页110lim1,1aaxxxx10.ax当时它是瑕积分,瑕点为由于11.9011,pa因此由定理的推论3,当即,()Ia时发散.(ii)(),Ja再讨论它是无穷积分.由于0,()11,0aIapaa时瑕积分收敛;当即返回后页前页11.3321,1paa因此由定理的推论,当即12limlim1,11aaxxxxxxxaa00a1a1I(a)发散收敛定积分J(a)收敛收敛发散(a)发散收敛发散1,(),:Ja时发散.综上所述总结如下1,();21,1Japaa且时收敛而当即且()01.aa所以,只有当时才是收敛的返回后页前页复习思考题1.试给出瑕积分的狄利克莱判别法和阿贝尔判别法.2.()[,).fxabb设为上的连续函数,为瑕点试问当2()d,()d?bbaafxxfxx收敛时是否收敛反之是?否成立返回后页前页作业：P279：3(2，5，6，8)，4(2)，5