9重积分总复习

一、二重积分概念二、二重积分的计算三、三重积分概念四、三重积分的计算五、重积分的应用重积分复习一、二重积分的概念Ddyxf),(iiniif),(lim10积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素(一)、定义(二)、几何意义当被积函数大于零时，二重积分是以被积函数为曲顶、以积分区域为底的曲顶柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是曲顶柱体的体积的负值．(三)、物理意义平面薄片的质量设有一平面薄片,xoy占有面上的闭区域,D在点处的面密度为,),(yx),(yx假定在),(yx上连续,D平面薄片的质量yx(,)DMxyd(四)存在条件当),(yxf在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.(五)性质.),(),(DDdyxfkdyxkf性质２Ddyxgyxf)],(),([.),(),(DDdyxgdyxf.),(),(),(21DDDdyxfdyxfdyxf性质３对区域具有可加性)(21DDD性质１当为常数时，k性质４若为D的面积，.1DDdd性质５.),(),(DDdyxgdyxf特殊地.),(),(DDdyxfdyxf则有若在上),,(),(yxgyxfD设M、m分别是),(yxf在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则性质６DMdyxfm),(（估值不等式）设函数),(yxf在闭区域D上连续，为D的面积，则在D上至少存在一点),(使得性质７（二重积分中值定理）),(),(fdyxfD例1判断122)ln(yxrdxdyyx的符号.当1yxr时,,1)(0222yxyx故0)ln(22yx;又当1yx时,,0)ln(22yx于是0)ln(122yxrdxdyyx.解例2比较积分Ddyx)ln(与Ddyx2)][ln(的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).解三角形斜边方程2yx在D内有eyx21,故1)ln(yx,于是2)ln()ln(yxyx,因此Ddyx)ln(Ddyx2)][ln(.oxy121D例3求极限Dyxrdxdyyxer)cos(1lim2220其中D为222ryx。解因为被积函数)cos(22yxeyx在区域D上连续，根据积分中值定理知：存在D),(使得Dyxrdxdyyxer)cos(1lim2220解毕。220)cos(1lim22rerr1二、二重积分的计算(一)、利用直角坐标系计算二重积分其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy［先y后x］:平行于轴的直线穿过区域内部与其边界最多交于两点。y21()()(,)((,)).bxaxDfxydfxydydx［先x后y］平行于轴的直线穿过区域内部时与其边界最多交于两点。x)2(.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxD求二重积分的步骤(1)画出积分区域图形,判断类型;(2)定积分上下限(3)写出二次积分再求即可.若区域如图，则必须分割。在分割后的三个区域上分别使用积分公式。.),(),(),(),(321DDDDdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf3D2D1D如果被积函数具有xxxeexxxyln1,sin,,,sin22等形式，则应选择先对y积分。注：例1计算积分dxdyxyD,dxyxx101022xy1解积分区域如图由其中D1yx与两坐标轴围成.dxxxx)2(211032Dxydxdyxxydydx1010xyxD10,10:102)1(21dxxx10432]413221[21xxx241解:(,)(,),Dfxyxyfuvdudv其中是由所围区域,则20,,1yyxxD(,)fxy等于()令由已知等式得(,),DfuvdudvA(,)fxyxyA两边在上取二重积分,则D()Axy()2Bxy1()8Cxy()1Dxy例2(,)fxy设连续,且(,)DAfxydxdyDDxydxdyAdxdy2112000xxdxydyAxdx11123A故选解得1,8A.C例3求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.dyey2无法用初等函数表示解积分时必须考虑次序Dydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e(二)、利用极坐标系计算二重积分(,)(cos,sin).DDfxydxdyfrrrdrdADo)(1r)(2r.)sin,cos()()(21rdrrrfdDrdrdrrf)sin,cos(AoD)(2r)(1r.)sin,cos()()(21rdrrrfdDrdrdrrf)sin,cos(AoD)(r.)sin,cos()(0rdrrrfdDrdrdrrf)sin,cos(Drdrdrrf)sin,cos(.)sin,cos()(020rdrrrfdDoA)(r例1计算dxdyeDyx22，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系下D：ar0，20.dxdyeDyx22arrdred0202).1(2ae例2将(其中为围成)化为极坐标下的累次积分.(,)DfxydD222xyx在极坐标系下D：02cosr，/2/2.(,)Dfxyd/22cos/20(cos,sin)dfrrrdr解在极坐标系下/32cos01cossindrrrdr例3计算Dxydxdy,其中是由221,xy2220,0xyxy所围成的闭区域.DD：12cosr，0/3.Dxydxdy/32cos301cossindrdr/34401(2cos1)cossin4d916解在极坐标系下/22/41drdr例4计算arctanDydxdyx,其中是由2214,xy0,0xyx所围成的闭区域.DD：12r，/4/2.arctanDydxdyx解2213[()()]2242在极坐标系下/23/2/2cos/20aaadrrdrdrrdr例5计算22Dxydxdy,其中是由222,xya222()24aaxy所围成的闭区域.D22Dxydxdycos,ara/2/2;:D0,ra/23/2.322()33a解和例6计算yxyxDedxdy,其中是以(0,0),(1,0),(0,1)为定点的三角形闭区域D在极坐标系下sincos1/2sincossincos00derdrD：11sincosr，0/2.yxyxDedxdysincos/22sincos011()2sincosedsincos/2sincos01sincos4sincosed11()4ee解例7.)()(11)()(12banxanbadyyfybndyyfyxdx证明证bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22babynyxndyyf])(11[)(1.)()(111bandyyfybnDxybbaa三、三重积分的概念dxdydzzyxf),,(iiiniivf),,(lim10.定义：物理意义:若,则三重积分的值等于以为分布密度的几何体的质量.0),,(zyxf),,(zyxf二重积分与三重积分有类似的存在条件及性质.四、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先z后xy”)方法2平行截面法,0),,(zyxf先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算的密度函数,方法:当被积函数只含有一个变量用与此变量所在坐标轴垂直的平面截积分区域所的截面面积容易求出时，用平行截面法比较简单。zxyDDyxdd方法1.投影法(“先一后二”)Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),,(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),,(),(),(21d),,(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),,(dd细长柱体微元的质量为),(2yxzz),(1yxzzyxdd记作例1计算三重积分zdxdydz，其中为三个坐标面及平面1zyx所围成的闭区域.xozy111xyxzdzdydx101010241)1(61)1(2110310210dxxdyyxdxxzdxdydz解.10,10:xyxDxoy平面上的投影区域为在yxz10的范围:zab方法2.截面法(“先二后一”)为底,dz为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为baZDyxzyxfdd),,(ZDbayxzyxfzdd),,(dzzDzd记作例.1:222zyxdvez，计算解法．，故采用＂先二后一＂域为圆的函数，截面被积函数仅为2221)(zyxzDz上dvedvezz210)(][2dzedxdyzzD102)1(2dzezz.2例4计算三重积分dxdydzz2其中是由椭球面1222222czbyax所成的空间闭区域.:,|),,{(czczyx}1222222czbyaxxyzozD解)1()1(222222czbczadxdyzD|),{(yxDz}1222222czbyax),1(22czabccdzzczab222)1(.1543abc原式我们称此种方法为平行截面法。截面法的一般步骤：(1)把积分区域向某轴（例如z轴）投影，得投影区间],[21cc；(2)对],[21ccz用过),0,0(z且平行xoy平面的平面去截，得截面zD;(3)计算二重积分zDdxdyzyxf),,(其结果为z的函数)(zF；(4)最后计算单积分21)(ccdzzF即得三重积分值.z当被积函数只含有一个变量用与此变量所在坐标轴垂直的平面截积分区域所的截面面积容易求出时，用平行截面法比较简单。oxyz2.利用柱坐标计算三重积分,R),,(3zyxM设,,,代替用极坐标将yx),,z（则就称为点M的柱坐标.z200sinyzzcosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面