计算三重积分详细方法

1热烈欢迎各位朋友使用该课件！广州大学数学与信息科学学院2工科高等数学广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东3一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分三、小结4,0r,20.z一、利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标．就叫点，则这样的三个数的极坐标为的投影面上在为空间内一点，并设点设MzrrPxoyMzyxM,,,),,(规定：xyzo),,(zyxM),(rPr简单地说，柱面坐标就是xoy面上的极坐标+z坐标5.,sin,coszzryrx柱面坐标与直角坐标的关系为为常数r为常数z为常数如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．rxyzoz),,(zyxM),(rPrxyzo6dxdydzzyxf),,(.),sin,cos(dzddrrzrrf如图，柱面坐标系中的体积元素为,dzddrrdv于是，drxyzodzdrrd再根据中z，r，的关系，化为三次积分。一般，先对z积分，再对r，最后对积分。7例1利用柱面坐标计算三重积分,dxdydzz其中所围成的闭区域。与平面是由曲面422zyxz解(1)画图(2)确定z，r，的上下限将向xoy面投影，得4:22yxD或.20,20:rD过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得xyzo4xyzo4Ao22r),(r8xyzo4),(r42zr.,sin,coszzryrx即过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得4,20,20:2zrr于是，dxdydzz.dzddrrz420202rdzzrdrdAo22r,dzddrrdv9dxdydzzdzddrrz420202rdzzrdrd20422022drzrdr20520)(1621drrrd20206261821drr2062618221rr.36410例2求zdxdydzI，其中是球面4222zyx与抛物面zyx322所围的立体.解zyxzyx3422222求交线：xyzo将向xoy面投影，得.3:22yxD.1,322zyxoA3r或.30,20:rD11dzdrdrzdxdydzzI.413xyzo23242030rrzdzrdrd.4322rzr即过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得.43,30,20:22rzrr),(r.,sin,coszzryrx,dzddrrdv或.30,20:rD12例3计算三重积分,)(22dvyx其中是由曲所围成。与平面面)0(22HHzyxz解将向xoy面投影，得222:HyxD或.0,20:HrDxyzoHxyzoHxyoHHHH.Hzr过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得),(r13,0,20:HzrHr即或.0,20:HrD.Hzr过(r,)∈D做平行于z轴的直线，得xyoHHHHHxyzoH),(rdvyx)(22.2dzddrrrHrHdzrdrd3020.,sin,coszzryrx,dzddrrdv14HHrdrzrd0320HdrrHr043)(2.105H,0,20:HzrHr即dvyx)(22.2dzddrrrHrHdzrdrd3020.,sin,coszzryrx,dzddrrdv15二、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标．就叫做点，，样的三个数面上的投影，这在为点的角，这里向线段轴按逆时针方向转到有轴来看自为从正轴正向所夹的角，与为有向线段的距离，间与点为原点来确定，其中，，序的数可用三个有次为空间内一点，则点设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM),,(,0r.20,0规定：xyzo),,(zyxMPr16为常数r为常数为常数如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．.cos,sinsin,cossinrzryrx球面坐标与直角坐标的关系为Pxyzo),,(zyxMrzyxAxyzor17dxdydzzyxf),,(.sin)cos,sinsin,cossin(2dddrrrrrf球面坐标系中的体积元素为,sin2dddrrdv如图，drxyzodrdsinrrdddsinr再根据再中r，，的关系，化为三次积分。一般，先对r积分，再对，最后对积分。18例4用球面坐标计算.2dvz其中.1:222zyx解画图。确定r，，的上下限。(1)将向xoy面投影，得.20(2)任取一],2,0[过z轴作半平面，得.0(3)在半平面上，任取一],,0[过原点作射线，得.10rxyzo19xyzo(3)在半平面上，任取一],,0[过原点作射线，得.10r即.10,0,20:rdvz2.cos,sinsin,cossinrzryrxdddrrr222sincos1024020sincosdrrdd01052205sincosdrdddrdrdvsin2200220sincos51dd0220)(coscos51dd20033cos51d20152d.154dvz2.cos,sinsin,cossinrzryrxdddrrr222sincos1024020sincosdrrdd01052205sincosdrdddrdrdvsin221例5计算.)(222dvzyx其中由曲面22yxz和2222Rzyx围成。)0(R将向xoy面投影，得.20任取一],2,0[过z.40在半平面上，任取一],4,0[过原点作射线，得.0Rr解轴作半平面，得xyzoR22即.0,40,20:Rrdddrrr22sinRdrrdd044020sinxyzoRdvzyx)(222.cos,sinsin,cossinrzryrx).22(515R在半平面上，任取一],4,0[过原点作射线，得.0Rrddrdrdvsin223例6求曲面22222azyx与22yxz所围成的立体体积.解由锥面和球面围成，xyzoRdvV由三重积分的性质，有.20,40,20:ar24解由锥面和球面围成，dvV由三重积分的性质，有.20,40,20:arxyzoRadrrdd202020sin4ddrdrdvVsin2.)12(343a.cos,sinsin,cossinrzryrxddrdrdvsin225柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz球面坐标的体积元素ddrdrdxdydzsin2柱面坐标球面坐标三、小结.cos,sinsin,cossinrzryrx.,sin,coszzryrx26广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东