积分求圆球面积和体积

积分法求圆球的表面积与体积方法一:如图圆O的方程为222Ryx,22xRy将圆O绕X轴旋转一周,得到一个圆球体从X负半轴到X正半轴将直径2R等分n份)(n每份长为x球体也同时被垂直分成n份薄片每片的半径为22xRr每片分得弧长为ld如图:当无限等分后(1)CEdl弧(2)CEOC(3)xEH易证CEHOCXCXOCEHCECXEHOCCExxRRl22弧薄片的球面面积xxRRxRlrS22222)2(xRS2球面面积RRRRRxRdx22=24R方法二:如图圆O的方程为222Ryx,22xRy将圆O绕X轴旋转一周,得到一个圆球体沿X轴正方向到X轴负方向将圆心角等分n份)(n每份为,),0(球体也同时被垂直分割成n份薄片每片弧长相等对应圆心角为每片对应的半径为sinRr当0时(1)BOC(2)CBCB弧弦(3)CBOB薄片周长sin2RL薄片的(宽))sin(Rh薄片外围面积)sin(sin2RRS)sin(sin22Rsin22R200224cos2sin2RRRS方法三:如图圆O的方程为222Ryx,22xRy将圆O绕Y轴旋转一周,得到一个圆球体沿Y轴负方向到Y轴正方向将圆心角等分n份)(n每份为,)2,2(球体也同时被水平分割成n份薄片每片弧长相等对应圆心角为每片对应的半径为cosRr如图取OCoB这一份进行研究当0时(1)BOC(2)CBCB弧弦(3)CBOC薄片周长cos2RL薄片的厚(高))sin(Rh薄片外围面积)sin(cos2RRS)sin(cos22R由极限:当0x时1sinxx当0x时xxsin故)sin(cos22RScos22R22222224sin2cos2RRRS积分法求圆球的体积方法一:如图圆O的方程为222Ryx,22xRy将圆O绕X轴旋转一周,得到一个圆球体在X轴正方向将半径R等分n份)(n每份长为x球体也同时被垂直分成n份薄片每片的半径为22xRr每份薄片的体积xrV2xxR)(22半球体积RRRxxxRxxRV0022022)(21303023231RxxRRR334RV方法二:如图圆O的方程为222Ryx,22xRy将圆O绕X轴旋转一周,得到一个圆球体自球内向外将将球体等分n层球体环)(n每层厚为x球体水平半径R也同时被水平分成n份任取一层(如图中红色一圈球体环)表面积24xs厚度xdxxV24RxxV024=Rx0334334RV