复变函数 3.xlsCauchy积分定理的证明

DepartmentofMathematics第三章复变函数的积分第二节柯西积分定理第二节柯西积分定理1柯西积分定理2柯西积分定理的证明3不定积分4柯西积分定理的推广1柯西定理定理3.1设f(z)是单连通区域D的解析函数，（1）设C是D内任一条简单闭曲线，那么其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。（2）C是在D内连接及z两点的任一条简单曲线，那么沿C从到z的积分值由及z所确定，而不依赖于曲线C，这时，积分记为.0)(Cdzzf0z0z0zzzdf0)(2几个引理引理3.1设f(z)是在单连通区域D内的解析函数。设C是D内的一个多角形的周界。那么0d)(Czzf在这里沿C的积分是按反时针方向取的。证明：先对C是三角形周界的情形进行证明，然后证明一般情形。引理的证明（1）C为三角形的周界设下面证明M=0。等分给定的三角形的每一边，两两连接这些分点，给定的三角形被分成四个全等的三角形，Mzzf|d)(|我们显然有：4321,,,4321d)(d)(d)(d)(d)(zzfzzfzzfzzfzzf引理的证明因此，沿周界的积分中，至少有一个的模不小于M/4。不妨假设这个周界为对于这个三角形周界为，我们也把它等分成四个全等的三角形，其中一个的周界满足4321,,,1,4|d)(|1Mzzf把这种作法一直进行下去，我们得到具有周界：1)2(,4|d)(|2)2(Mzzf一个三角形序列，其中每一个包含后一个，而且有下面的不等式：,...,...,,,)()2()1(1)0(n引理的证明用U表示周界的长度，于是周界的长度是,...)2,1,0(,4|d)(|)(nMzzfnn现在估计的模。)(n,...)2,1(2nUn由于三角形序列中每一个每一个包含它后面的全部三角形，而且)(d)(nzzf因此由数学分析中的闭区域套定理，得存在着一点属于序列中的所有三角形。)(02nUn0z引理的证明又因为f(z)在有导数，所以使得当时于是当时0z)('0zf0,0||00zzDz并且)(')()(000zfzzzfzf显然，当n充分大时，所确定的圆盘内，因此当时，上式成立。||00zzDz并且||)(')()()(0000zzzfzzzfzf||0)(zzn包含在)(nz引理的证明且有，所以其次，由于，我们有于是当n充分大时，nUzz2||0nUzfzzzfzf2)(')()()(000,0d,0d)()(nnzzz,)]d(')()()([d)()(000nnzzfzzzfzfznnnUUUzzfzzzfzfznn422|)]d(')()()([||d|2000)()(引理的证明因此由于的任意性，我们得到M=0。nnUM442即2UM引理的证明(2)C为一个多角形的周界P：如图，用对角线把以P为周界的多角形分成若干个三角形，就可以把沿P的积分表示成沿这些三角形周界的积分之和：PCDBAE因此每条对角线上积分彼此相互抵消，再利用第一步的证明，有ADEAACDAABCAPzzfzzfzzfzzfd)(d)(d)(d)(0d)(Pzzf3柯西定理的证明：证明：先证明(1)成立。在C上任取一点，可以作出圆盘：因为圆盘是凸区域，由引理2.2，f(z)在内有原函数。*)0(}|||{00*0DzzK0K)(0zF由于C是一个紧集，由数学分析中的有限覆盖定理，存在有限个圆盘覆盖了C；把这些圆盘按反时针方向依次排列为121,...,,nKKK柯西定理的证明：并且用)(),...,(),(121zFzFzFn表示f(z)在这些圆盘中的原函数。取1112121211,...,,,KKCKKCKKCKCnnnnn其中是C上依序按反时针方向取的。由引理2.3，有1121,,...,,nn),()()([)()(1111111nknnkkkknkCFFFFdfdzzfkk柯西定理的证明这里，用表示沿C从的弧上的积分，用表示从的线段上的积分。由引理2.3，有1kk1kk到1kk1kk到nkCkkdfdzzf11)()(因为构成中的一条闭合折线，所以由引理2.1，得;0)(Cdzzf柯西定理证明下面证明（2）成立。设是在D内连接及z两点的另一条简单曲线。则是D内的一条简单闭曲线，由（1），有1C0z1'CCC0)('Cdzzf而所以定理的结论成立。111)()()()()()('CCCCCCCdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzf定理3.1‘定理3.1’设C是一条简单闭曲线，函数f(z)在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么0)(Cdzzf定理3.2设f(z)是单连通区域D的解析函数，那么f(z)在D内有原函数。证明：取定，由定理3.1，得是在D内确定的一个函数。取充分接近，把DzD任取,zdfzF)()(00,zDzDz与并取0)()()()(0zzdfdfzFzF定理3.2的证明：D中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其中一条是另一条曲线与连接及z的线段的并集。于是有0z这里积分是沿及z的联线取的，同样可证，有0zzzdzffzfzzzFzF0)]()([)()()()(0000).()('00zfzF例1例1、设D是不含a的一个单连通区域，并且那么其中m是不等于1的整数。另外，还设D在复平面上沿从a出发的任何射线割开而得得区域内，我们有Dzz,0])(1)(1[11)(1010mmzzmazazmad),ln()ln(00azazadzz其中对数应理解为Ln(z-a)在D内的一个解析分支在z及的值。0z柯西定理的注解：注解1、我们可以用原函数求解析函数的积分；注解2、区域的单连通性不能直接取掉。注解3、柯西定理可以推广到多连通区域：设有n+1条简单闭曲线曲线中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的内区域，,,...,,10nCCCnCC,...,10CnCCC,...,,10围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个闭区域。D柯西定理的注解：设f(z)在上解析，那么令C表示D的全部边界，我们有D0)(Cdzzf其中积分是沿C按关于区域D的正向取的。即沿按反时针方向，沿按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一同运动时，区域D总在它的左侧。因此0CnCC,...,10)(...)()()(10nCCCCdzzfdzzfdzzfdzzf柯西定理的注解：也有：nCCCdzzfdzzfdzzf)(...)()(10柯西定理的注解：注解4、上面规定区域D的方向称为正向，以后，我们总是规定取正向，除非另有说明；注解5、多连通区域内的不定积分与多值函数：设f(z)是多连通区域D的解析函数。在D内作连接及z两点的任一条简单曲线。在某两条这样的曲线所包成的闭区域上，f(z)可能不解析，因此不能应用柯西定理，所以f(z)沿这两条曲线的积分可能不相等。假定这两个积分不相等。那么函数：是多值的。0zzzdfzF0)()(柯西定理的注解：可是z当属于包含在D内的某一单连通区域D’时，取曲线如下：从沿一个固定的简单曲线到D’内一点，然后从沿在D’内一条简单曲线到z。沿这种曲线取积分所得的函数F(z)在D’内解析。改变从的曲线，我们能够得到不同的解析函数；它们是F(z)在D’内的不同解析分支。0z1z10zz到作连接的两条简单曲线，取定Argz在的值为。例2：例2、在圆环内解析，在D内取定两点),0(||:2121RRRzRDzzf1)(21CC及.10zz及10zz及0z0argz当z沿从连续变动到时，z的幅角从连续变动到。于是当z沿从连续变动到时，z的幅角从连续变动到。1C0z1z0argz1argz0z1z0argz2C2arg1z例2现在求沿的积分。令，则11Ciedeidedii010101lnln)arg(arg||ln||ln111zzzzizzdiddCCC从而例2：同样求得.2lnln012izzdC这样，在含的一个单连通区域（在D内）内，相应，多值函数1z21CC及zzdzF0)(有两个不同的解析分支相应于连接的其它曲线，还可得到F(z)在D内的其它解析分支，F(z)就是对数函数。)2,1()1(2lnln1101kikdzzddzzCzzk10zz及4不定积分设f(z)及F(z)是区域D内确定的函数，F(z)是D内的一个解析函数，并且在D内，有F’(z)=f(z)，那么函数F(z)称为f(z)在区域是D内的一个不定积分或原函数；除去可能相差一个常数外，原函数是唯一确定的。即f(z)的任意两个不定积分或原函数的差是一个常数。事实上，设F(z)及G(z)都是f(z)在区域是D内的原函数，则有0)(')]'()([zzGzF不定积分其中，我们已经证明，在D内，有，)()()(zzGzF)(z因此)()(zGzF凸区域：区域D是一个凸区域，如果连接D中任意两点的线段也包含在D内，即DtttDD]}1,0[|)1{(,4柯西积分定理的推广定理3.5设f(z)是凸区域D内的解析函数，那么f(z)在D内有原函数。证明：取定，任取，由区域D的凸性，有连接及z的线段一定包含在D中。令DDz10])1[()()(dttztfzzF记为。则F(z)是在D内确定的一个函数。下面证明F是f在D内的一个原函数。zadf)(取，连接及z的线段一定包含在D中。考虑顶点为的三角形，由引理2.1，得其中所以Dz00zzz,,0zzzzdfdfdfzFzF00)()()()()(01000])1[()()(0dttzztfzzdzzfzzzzdzffzfzzzFzF0)]()([)()()()(0000由于f(z)在连续，，使得于是，从而有0,00z|)()(|,}|||{00zfzfDzzzz)0|(|),(|)()()()(00000zzzzozfzzzFzF).()('00zfzF定理3.6定理3.6设f(z)是区域D内的连续函数，并且在D内有原函数F(z)。如果，并且C是D连接的一条曲线，那么注解1、此引理说明，如果某一个区域内的连续函数有原函数，那么它沿这个区域内曲线的积分可以用原函数来计算，这是数学分析中牛顿-莱布尼茨公式的推广；注解2、这时，积分值只与曲线的起点、终点有关，而与积分路径无关。D,,)()(d)(FFzzfC定理3.6的证明：证明：如果曲线是C光滑曲线那么有)(,)(),)((bzazbtatzz因为，并且因为微积分基本定理对实变量复值函数显然成立，所以baCdttztzFzzf)('))(('d)(如果曲线是分段光滑的曲线，那么分段计算，也可以证明结论成立。)()())(())(())((d)(FFbzFazFtzFzzfbaC本节结束谢谢！