微积分学广义积分敛散性判别

一、无穷积分——无穷区间上的广义积分.),[)(上有定义在设函数axf.)],[()(,,记且AaRxfaARA,d)(limd)(AaAaxxfxxf.),[)(上的无穷积分在称之为axf限值称此无穷积分收敛，极若式中的极限存在，则该无穷积中的极限不存在，则称即为无穷积分值；若式.分发散1.无穷积分的概念类似地可定义：.)(d)(limd)()1(bBxxfxxfbBBbd)(d)(d)()2(ccxxfxxfxxf.d)(limd)(limAcAcBBxxfxxf.d)(d)(d)(收敛则称同时收敛，与若xxfxxfxxfcc.d)(,d)(d)(发散则至少有一个发散与若xxfxxfxxfccd)(的可加性，而言，由定积分对区间对xxf.0.cc为方便起见，通常取值无关与显然其收敛性例1解.d02xexx计算AxAxxexxex00dlimd222xu令20d21limAuAue20)(21limAuAe)2121(lim2AAe.21能否将这里的书写方式简化？)()(的一个原函数，则约定是为书写方便起见，若xfxF.)()(lim)(d)(0aFxFxFxxfxa.)(lim)()(d)(xFbFxFxxfxbb.)(lim)(lim)(d)(xFxFxFxxfxx这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.例5解)0(d的敛散性，－积分讨论axxPap.为任意常数其中P:1时当P||lndaaxxxaxxln||lnlim,.1积分发散时，故Pp:1时当Papapxxx1d1.1,1,1,1ppapp发散收敛综上所述，.11时发散时收敛；当积分当ppP)0(daxxPap－积分2.无穷积分的基本运算性质均存在，则设以下所有出现的积分.d)(d)(d)()2(Rcxxfxxfxxfccaa.d)(d)(d)]()([)3(aaaxxgxxfxxgxf.d)()()()(d)()()4(aaaxxvxuxvxuxxvxu.)5(分的换元法进行计算无穷积分也可按照定积.d)(d)()1(aaxxfxxf.d)(d)(,)()(),[)6(aaxxgxxfxgxfa则上若在其它类型的无穷积分的情形类似于此.3.无穷积分敛散性的判别法:,定义式写成下面的形式我们可以将无穷积分的实际上;d)(limd)(xaxattfxxf.d)(limd)(bxxbttfxxf.函数来进行有关的讨论这样可以利用积分上限定理.0)(,)),[()(xfaCxf且设函数),[d)()(attfxFxa在若积分上限函数.d)(,收敛则无穷积分上有上界axxf证,,0)(,)),[()(所以且因为xfaCxf.),[)(上单调增加在积分上限函数axF,),[)(从而上有上界在又已知函数axFd)()(xattfxF.),[由极限存在准则上单调增加且有上界在a.d)(lim)(limx存在可知极限xaxttfxF.d)(收敛即无穷积分axxf定理（比较判别法）,,,),[)(,)(aARAaxgxf上有界在设函数0)()(，xfxg.d)(d)()1(也收敛收敛时，积分当则aaxxfxxg.d)(d)()2(也发散发散时，积分当aaxxgxxf,)],[()(),(且满足AaRxgxf证)()(0,得时由xgxfxad)()1(，则下列极限存在收敛若积分axxg,d)(d)(0xaxattgttf,积分上限函数从而.),[d)()(上有上界在attgxGxa,),[d)()(上有上界在attfxFxa.d)(收敛故积分axxf.d)(limIttfxax,故可知限过程中必有界由于有极限的量在该极.)2(运用反证法,d)(,d)(收敛积分发散时如果aaxxgxxf.d)(:)1(收敛立即可得出矛盾则由axxf..,之一积分是重要的比较标准敛散性的重要方法穷积分比较判别法也是判别无与级数的情形类似P定理（比较判别法的极限形式法）,),[,),[)(,)(aAaxgxf上的非负函数为定义在设.)]A,[()(,)(aRxgxfd)(d)(,0)1(同时与无穷积分时当aaxxgxxf.,或同时发散收敛,,)()(lim那么若有极限xxfx.d)(,d)(,0)2(收敛则收敛无穷积分时当aaxxfxxg.d)(,d)(,)3(发散则发散无穷积分时当aaxxfxxg定理（柯西极限判别法）积分综合而成由比较判别法与P.0)(,)0()),[()(xfaaCxf且设,)(lim,1则存在使得若存在常数xfxppx;d)(收敛无穷积分axxf则或者若,)(lim0)(limxfxIxfxxx.d)(发散无穷积分axxf证:,)(lim,1则由极限的定义存在时设bxfxppx,,11有时当xxax,1|)(|bxfxp,1)(0Mbxfxp故).()(01xxxMxfp即有,d11故收敛积分的由于xpxxMPp.d)(1收敛无穷积分xxxf.d)(d)(d)(d)(11收敛可知由axxaaxxfxxfxxfxxf则或者若,)(lim0)(limxfxIxfxxx,2|)(|,,11故有时当IIxfxxxax,2)(1MIxfx).,)(lim(Ixfxx可取任意正数作为时).()(11xxxMxf即有,d111故发散积分的由于xxxMPp.d)(1发散无穷积分xxxf.d)(d)(d)(d)(11发散可知由axxaaxxfxxfxxfxxf例10解.darctan1的敛散性判别无穷积分xxx因为,2arctanlimarctanlimxxxxxx.darctan1是发散的故无穷积分xxx例11解123.1d的敛散性判别无穷积分xxx因为,1lim1lim2223xxxxxxxx.1d123是发散的故无穷积分xxx例12解12.1d的敛散性判别无穷积分xxx因为)12(,11lim11lim222pxxxxxxx.1d12收敛故无穷积分xxx定理阿贝尔判别法.),[)(,)(上有定义在设axgxf),[)(,d)(上在函数收敛若积分axgxxfa.d)()(,,收敛则积分有界单调axxgxf狄利克雷判别法:.),[)(,)(上有定义在设axgxf，存在有界的原函数上若在d)()()(),[xattfxFxfa.d)()(,0)(lim)(x收敛则积分单调减少且axxgxfxgxg例13解d)(时，收敛，则当如果积分xxxfa0)(吗？一定有xf.不一定.dsin12xxI例如，考虑积分,2dd,ttxtx则令112dsin21dsintttxxI，且显然，01lim)(lim,1)()[1,ttgttgtt.)t(1,2|cos1cos||cos||dsin||)(|11tuuutFtt.sinlim2不存在原积分收敛，但由狄利克雷判别法可知xx4.无穷积分的绝对收敛性,d|)(|则称无穷积分收敛若积分axxf.d)(为绝对收敛的axxf.d)(,为条件收敛的则称积分收敛axxfd)(,d|)(|aaxxfxxf而积分发散若积分.),[)(,d)(上绝对可积在也称为绝对收敛时axfxxfa定理,d|)(|,)),[()(收敛若设函数axxfaCxf.d)(必收敛则axxf.定收敛绝对收敛的无穷积分一证由于,|)(|2|)(|)(0xfxfxf,d|)(|故无穷积分收敛又axxf.d)|)(|)((收敛axxfxf,,|)(|)|)(|)(()(从而但xfxfxfxf,d|)(|d)|)(|)((d)(aaaxxfxxfxfxxf.d)(收敛故无穷积分axxf定理（柯西判别法）,|)(|lim,),[)(则且上有定义在设Ixfxaxfpx.d|)(|,01)1(收敛积分时且当axxfIp.d|)(|,01)2(发散积分时且当axxfIp该定理的证明请读者自己完成.例14解.dsin0的敛散性判别无穷积分xxbexa).0,,,(aba且为常数其中,|sin|0且因为xaxaexbe,11d00aeaxexaxa,d故无穷积分收敛即无穷积分axaxe.d|sin|0收敛xxbexa.)(dsin,0当然收敛绝对收敛无穷积分从而xxbexa二、瑕积分1.瑕积分的概念——无界函数的广义积分(1)瑕点的概念为内无界，则称点在，若函数),(Uˆ)(000xxxf.)(的一个瑕点函数xf1)(的一个瑕点；是例如：axxfax.)1ln()(12的瑕点是xxgx.1)(22的瑕点是axxhax(2)瑕积分的概念.,],()(为其瑕点上有定义在设axbaxf,)],[()(,0记若baRxf,d)(limd)(0babaxxfxxf.],[)(上的瑕积分在称之为函数baxf,,极限值即则称该瑕积分收敛若式中极限存在.,;则称该瑕积分发散若式中极限不存在为瑕积分值.d)(limd)(0babaxxfxxf类似地，可定义,)1(为瑕点时当bx,)()2(为瑕点时当bcacxbccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(,)(limd)(lim00bccadxxfxxf.d)(,d)(d)(才收敛同时收敛时与仅当babccaxxfxxfxxf.d)(,d)(d)(发散至少有一个发散时与babccaxxfxxfxxf与无穷积分的情形类似，瑕积分也有下列运算形式：.)(,)(lim)()(d)(为瑕点axxFbFxFxxfaxbaba.)(,)()(lim)(d)(为瑕点bxaFxFxFxxfbxbaba这样就将瑕积分的计算与定积分的计算联系起来了.2.瑕积分基本运算性质,叙述为唯一瑕点的情形进行以下均以积分下限ax.形仍成立其结论对其它瑕点的情均存在，则设以下所有出现的积分.d)(d)(d)()2(Rcxxfxxfxxfbccaba.d)(d)(d)]()([)3(bababaxxgxxfxxgxf.d)()()()(d)()()4(bababaxxvxuxvxuxxvxu.)5(的换元法进行计算瑕积分也可按照定积分.d)(d)()1(abbaxxfxxf.d)(d