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多元函数积分方法技巧摘要:对于不同的背景,如讨论一般形状的物体的体积、质量、重心等问题的时候我们一般就要运用多元积分的内容。多元函数有各种不同的概念,因而多元函数积分学具有十分丰富的内容,其中最重要的还是多元函数积分的计算方法。关键词:多元函数积分技巧提到积分,首先想到的应该就是二重积分了。这类积分实际上是通过计算曲顶柱体的体积来引出的。若f(x,y)=1则∫∫f(x,y)dδ=A(D),即积分区域的面积。计算方法如下:1、二次积分在直角坐标系两种不同次序积分:一是先积y后积x的累次积分,即:若),(yxf在矩形区域dcbaD,,上可积,且对每个bax,,积分其dyyxfdc,存在,则累次积分dyyxfdxdcba,也存在,且:dyxfD,dyyxfdxdcba,其二是先积x后积y的累次积分,即:若yxf,在矩形区域dcbaD,,上可积,且对每个dcy,,积分dxyxfba,存在,则累次积分dxyxfdybadc,也存在,且:dyxfD,dxyxfdybadc,2、二次积分在极坐标系下的积分:当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单,或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时,我们可以在极坐标系下考虑其计算问题.例如:dxdyyxdxdyyxdxdyeayxayxayxyx22222222222)cos(,)sin(,2222等.用极坐标计算二重积分的步骤(1)画出积分区域的草图;(2)将(,)Dfxydxdy转化为(cos,sin)Dfrrrdrd,根据积分区域的草图确定r和的积分范围;(3)将(cos,sin)Dfrrrdrd转化为二次定积分,并计算得出结果.三重积分的计算方法介绍:三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看:如果先做定积分21),,(zzdzzyxf,再做二重积分DdyxF),(,就是“投影法”,也即“先一后二”。步骤为:找及在xoy面投影域D。多D上一点(x,y)“穿线”确定z的积分限,完成了“先一”这一步(定积分);进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分,完成“后二”这一步。ddzzyxfdvzyxfDzz21]),,([),,(如果先做二重积分zDdzyxf),,(再做定积分21)(ccdzzF,就是“截面法”,也即“先二后一”。步骤为:确定位于平面21czcz与之间,即],[21ccz,过z作平行于xoy面的平面截,截面zD。区域zD的边界曲面都是z的函数。计算区域zD上的二重积分zDdzyxf),,(,完成了“先二”这一步(二重积分);进而计算定积分21)(ccdzzF,完成“后一”这一步。dzdzyxfdvzyxfccDz]),,([),,(21当被积函数f(z)仅为z的函数(与x,y无关),且zD的面积)(z容易求出时,“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算,还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑:将积分区域投影到xoy面,得投影区域D(平面):(1)D是X型或Y型,可选择直角坐标系计算(当的边界曲面中有较多的平面时,常用直角坐标系计算);(2)D是圆域(或其部分),且被积函数形如)(),(22xyfyxf时,可选择柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时,常用柱面坐标计算);(3)是球体或球顶锥体,且被积函数形如)(222zyxf时,可选择球面坐标系计算计算积分应该注意以下几点:首先,选择坐标系.先要考虑积分区域的形状,看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单,其次要看被积函数的特点,看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分..对三重积分,采用“投影法”还是“截面法”,要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地,投影法(先一后二):较直观易掌握;截面法(先二后一):zD是在z处的截面,其边界曲线方程易写错,故较难一些。特殊地,对zD积分时,f(x,y,z)与x,y无关,可直接计算zDS。因而中只要],[baz,且f(x,y,z)仅含z时,选取“截面法”更佳。2.对坐标系的选取,当为柱体,锥体,或由柱面,锥面,旋转抛物面与其它曲面所围成的形体;被积函数为仅含z或)(22yxzf时,可考虑用柱面坐标计算。
本文标题:多元函数积分方法技巧
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