第一类曲面积分

实例解第一步:将Σ分为许多极其微小的子域,以dS为代表,dS的质量为:MMd第二步:求和取极限SzyxMd),,(则Szyxd),,(,d),,(Szyx取所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.光滑的,是若曲面它的面密度为连续函数),,,(zyx求它的质量.一、概念的引入第一型曲面积分（对面积的曲面积分）11.定义iS(上为设点iiiiS),,(,),,(iiiiSf,),,(1iiiniiSf,0时iS函数f(x,y,z)在Σ上任意取定的点,并作和如果当各小块曲面的直径这和式的极限存在,则的最大值①②③④二、对面积的曲面积分的定义第i小块曲面的面积),作乘积设曲面Σ是光滑的,同时也表示有界.把Σ任意分成n小块xyOz),(:yxzz),,(iii),,(iiiSxyDxyi)(2在),,(zyxf或.d),,(Szyxf记为即如曲面是曲面元素被积函数则积分号写成iiiniiSf),,(lim10Szyxfd),,(积分曲面iiiniiSf),,(1称极限为函数上在曲面对面积的曲面积分第一类曲面积分.闭曲面,SzyxMd),,(据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为34oxyz定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有Szyxfd),,(yxDyxf),,(对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:由定义知nk10limyxD),,(kkkyxk)(5yxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(122yxkkkykkxzz)(),(),(122yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),,(22)),(,,(kkkkzf)),(,,(kkkkzfSzyxfd),,(而(光滑)确定投影域并写出然后算出曲面面积元素;最后将曲面方程代入被积函数,对面积的曲面积分时,首先应根据化为二曲面Σ选好投影面,曲面Σ的方程,重积分进行计算.67;1)],(,,[22dxdyzzyxzyxfxyDyxdSzyxf),,(),(:)1yxzz若曲面则如果曲面方程为以下三种：;1]),,(,[22dxdzyyzzxyxfxzDzxdSzyxf),,(则),(:)2zxyy若曲面8.1],),,([22dydzxxzyzyxfyzDzydSzyxf),,(),()3zyxx：若曲面则计算的关键是看所给曲面方程的形式！！！曲面方程以哪两个变量为自变量，就向这两个变量所确定的坐标平面投影，得到积分区域。xyzO例解yz5投影域:}25|),{(22yxyxDxy5,d)(zySzyx为平面其中计算2522yx被柱面所截得的部分.:曲面Szyxd)(xyDy52yxdd故)(yxxyDyxxdd)5(22125xyDyxdd52二重积分的对称性9设分片光滑的Szyxfd),,(x的奇函数x的偶函数.d),,(21Szyxf.0),(:1zyxx其中,0则曲面Σ关于yOz面对称,为当),,(zyxf为当),,(zyxf10解依对称性知成立1422yxz||xyz.为偶函数、关于xy,d||Sxyz计算).10(22zyxz为抛物面其中例面均对称；面、关于yOzxOz抛物面有被积函数1为第一卦限部分曲面.xyzO11yxyxSdd)2()2(1d22Sxyzd41xy4极坐标12222004dcossin14drrrrrxyD)(22yxyxyxdd)2()2(122Sxyzd||投影域：}0,0,1|),{(22yxyxyxDxy2152002sin2d14drrruuud)41(4125142015125u积分曲面22:(01)zxyzxyzO12例所围成的空间立体的表面.,dSx计算,122yx是圆柱面其中02zxz及平面zxyOzxyOzxyO13解2dSx1231dSxDyxxdd0Dyxxdd1100z2xz122yx投影域1:22yxD例所围成的空间立体的表面.,dSx计算,122yx是圆柱面其中02zxz及平面对称性zxyO14zxyO(左右两片投影相同)zxyySzxdd1d22zxxdd112Sxd1:223yx将投影域选在面上xOz注21xy分成左、右两片3dSxSxd31Sxd32312x2xzDzxxdd112zxxxdd122012x12xzSxd00对称性xzO1115zxyO例：计算,d)(23Szyxx其中Σ为球面222yxaz之位于平面曲面Σ的方程Σ在xOy面上的投影域2222:hayxDxyΣ解222yxaz2222:hayxDxy)0(ahhz上方的部分.16zxyOΣ2222:hayxDxy因曲面Σ于是)(22haaSzd00222yxayxyxaadd222x3是x的奇函数，x2y是y的奇函数.Szyxxd)(23222yxazxyD关于yOz面及xOz面对称;17例,d2Sx求2222:azyx解积分曲面方程轮序对称Szyxd)(222SzyxSxd)(31d222231提示即三个变量轮换位置方程不变.Sxd22243aa具有轮换对称性,中的变量x、y、z3Sd2a18zxyO计算曲面积分SzyxId)(222其中Σ是球面.2222azzyx)0(a解Σ的方程方程是:222yxaaz方程是:投影域222:ayxDxyΣ222yxaaz记上半球面为,1下半球面为,2不是单值的.的值.19对上半球yxzzSyxdd1d22yxyxaadd222得1d)(222Szyx对下半球2d)(222Szyxyxyxayxaaadd)(22222222222:ayxDxyxyDxyDazzyx2222Σ是球面yxyxayxaaadd)(22222222222yxaaz222yxaaz20所以232200dr4daraar极坐标I122223dd4yxayxa48ayxyxayxaaadd)(22222222yxyxayxaaadd)(22222222xyDxyDxyD222:ayxDxy2122yxD例.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:2222:hayxDyx221yxzzzSd20da0)ln(2122222haraayxDyxayxa222dd22022dhararroxzyha23思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,)(dzS)(dzS0hln4aa则hhoxzy24例3.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.ozyx111解:设上的部分,则4321,,,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1(1203与10d3xx4321Szyxd原式=分别表示在平面25xozy例4.设2222:azyx计算.d),,(SzyxfI解:锥面22yxz的222yxaz1设,),(22122ayxyxDyx与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为1yxD则1d)(22SyxI261d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD思考:若例4中被积函数改为计算结果如何?27例6.计算其中是球面22yx利用对称性可知SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd4解:显然球心为,)1,1,1(半径为3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz已知曲面壳求此曲面壳在平面z=1以上部分的的面密度质量M.解:在xOy面上的投影为,2:22yxDyx故SMdrrrd41d3220π20)41d(4181π62202rryxyxyxDdd)(41322π13yxD2xzy282.设是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面,计算解:在四面体的四个面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11O0yxzddzxzDxz10,10:同上平面方程Sd投影域29yxz1yxdd3xyxDyx10,10:0yxzddzxzDxz10,10:同上平面方程Sd投影域yzzydd10)1(1102xzzxdd10)1(11022ln)13(233yxyxxdd)13(2)1(1101030例3其中是介于平面之间的圆柱面解(方法1)yzDzyyRx),(,:22121.}0,),{(HzRyzyDyzyzDzyyRx),(,:222oxyHzR1231yzORHDyzyzDzyyRx),(,:22132yzORHDyz33注如果积分曲面的参数方程为：uvDvuvuzzvuyyvuxx),(),(),(),(Szyxfd),,(则uvDvuzvuyvuxf)],(),,(),,([.dd]),(),([]),(),([]),(),([222vuvuzyvuxzvuzy34(方法2)其参数方程为：}0,π20),{(),(sincosHzzDzzzRyRxzzzzyzxzzzySdd]),(),([]),(),([]),(),([d222zRdd3536例,22yxz是锥面其中,d)1(SxyzI.)0(222的整个表面面所围空间立体及圆柱面xOyaaxyx解321关于zOx面对称关于y奇函数321xyzO37的面积.0xyDyxyxz),(,:)1(221321xyzO2a38xyDyxdd22axyODxy2π2a321xyzO2a，222)2(由对称性，得xzDzxxaxy),(2:22，xzDzxxaxy),(2:22，(方法1)392axzOaxyxyxz22222消去yaxyxza