人教版七年级上册语文基础知识汇总

2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系1第3章一元函数积分学及其应用第1节定积分的概念，存在条件与性质第2节微积分基本公式与基本定理第3节两种基本积分法第4节定积分的应用第5节反常积分第6节几类简单的微分方程2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系2第3节两种基本积分法3.1换元积分法3.2分部积分法3.3初等函数的积分法2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系3换元法则(II）换元法则(I)基本思路设,)()(ufuF可导,CxF)]([()()duxfuu()()uxFuC)]([dxFxxxfd)()]([则有3.1换元积分法1.换元法则(I)----第一类换元法定理3.1(),fu设连续(),ux有连续的导数则有换元公式()dfuu()ux(())d()fxx(也称配元法即[()]()dfxxx,凑微分法)说明使用此公式的关键在于将dxxg)(化为.)()]([dxxxf2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系5第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()]([()dfuu)(xu2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系6例1求解:令,bxau则,ddxau故原式=muuad1a1Cumm111注当时2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系71ln2xaCaxa解221ax))((axax)()(axaxa21)11(21axaxa∴原式=a21axxaxxdda21axlnaxlnC1ln2xaCaxa2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系822)(1d1axxa例2求解:,axu令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1想到公式21duuCuarctan)(ax2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系921:.825Exdxxxdxxx25812dxx9)4(12221d(4)(4)3xx.34arctan31Cx解2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系10例3求21duu想到Cuarcsin解:2)(1daxax)(d))((xxf(直接配元)xxxfd)()]([2)(1)(daxax2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系11以下是最基本且经常会遇到的结果:()(d)xxe()xeC()()cosdxx()()sindxx2()()1dxx()()1dxx()()dxx(sin)Cx()cosxC2(2)1Cx()1Cx(ln)Cx2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系12例4求.2sinxdx解（一）xdx2sin1sin(22)2xdx1cos22;Cx解（二）xdx2sinxdxxcossin22(sinsi)ndxx;sin2Cx解（三）xdx2sinxdxxcossin2)(coscos2xxd.cos2Cx观察重点不同，所得结论不同.2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系13例5求解xxxdcossinxxcoscosdxxxsindcosxxsinsind类似2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系14常用的几种配元形式:xbxafd)()1()(dbxaa1xxxfnnd)()2(1nxdn1xxxfnd1)()3(nxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4(xsindxxxfdsin)(cos)5(xcosd2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系15xxxfdsec)(tan)6(2xtandxeefxxd)()7(xedxxxfd1)(ln)8(xlnd例6.求xln21xlnd解:原式=xln2121)ln21(dx2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系16例6.求.d3xxex解:原式=32dxex32d33()xxe323xeC例7.求.dsec6xx解:原式=xdxx222sec)1(tanxtandxxxtand)1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系17例8.求.1dxex解法1xeeexxxd1)1(xdxxee1)1(dxCex)1ln(解法2xeexxd1xxee1)1(dCex)1ln()]1(ln[)1ln(xxxeee两法结果一样2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系18例9求解法12cosdcosxxxxx2sin1sind11sinln21sinxCxxxtansec解法2xxtansec(sectan)xx2secsectandsectanxxxxxxd(sectan)xx同样可证Cxxcotcsclnxxdcsc(P196例3.4)2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系191212.(1).xxedxx11..2321dxxx253.sincos.xxdx4.cos3cos2.xxdx原式dxxxxxxx1232123212322111,xxxdxxdxx12413241提示:)(sincossin42xxdx)],cos()[cos(21coscosBABABA2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系202.换元法则(II)----第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()]([()dfuu)(xu若所求积分xxxfd)()]([易求,则得第二类换元积分法.难求，()dfuu定理3.2设CxF)()()]([)(ttft是单调可导函数,且具有原函数,1()().txxt其中是的反函数证:[()]()ftt设的原函数为,)(t令])([)(1xxF则)(xFtddxtdd)()]([ttf)(1t)(xf()dfxxCx)]([1Ct][)(1xt)(1d)()]([xttttf则有换元公式)(1])()]([[)(xtdtttfdxxf2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系22例10求.)0(d22axxa解:令,),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd∴原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xataxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa222008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系23例11求解:令,),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2∴原式ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22axtln22ax)ln(1aCCxa1C2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系24例12.求解:,时当ax令,),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec∴原式tdttatansectatanttdsec1tanseclnCtt22axt1lnC)ln(1aCC22axaxa2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系25,xa当时令,ux,ua则于是22dauu122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCC2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系26说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa可令;sintax22)2(xa可令;tantax22)3(ax可令.sectax2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系27说明(2)被积函数含有时,除采用1shch22tt采用双曲代换taxsh消去根式,所得结果一致.taxch或22ax或三角代换外,还可利用公式2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系28说明(3)当分母的阶较高时,可采用倒代换.1tx例13求dxxx)2(17令tx1,12dttdxdxxx)2(17dtttt27121dttt7621Ct|21|ln1417.||ln21|2|ln1417Cxx解2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系29例14求解.1124dxxxdxxx1124令tx1,12dttdxdtttt22411111（分母的阶较高）dttt231222121dttt2tu2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系30duuu121duuu11121)1(11121uduuCuu11313.1131232Cxxxx2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系31说明(4)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）lkxx,,ntxn例15求.)1(13dxxx解令6tx,65dttdxdxxx)1(13dtttt)1(6235dttt2216dtt21116Ctt]arctan[6.]arctan[666Cxx2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系32两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换小结:说明：1.第二类换元法常见类型:,d),()1(xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan或taxsh,d),()5(22xaxxf令taxsec或taxch(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,d)()6(xafxxat2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系34（8）万能代换令tan2xt2arctanxt（万能代换公式）22sin,1txt221cos,1txt221dxdtt使用范围：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数．一般记为)cos,(sinxxRdxxxdxxxsin)cos2(1sin1sin如，2008年12月5日南京航空航天大学理学院数学系35例16求积分.cossin1sindxxxx解22sin,1txt221cos1txt22,1dxdtt由万能代换公式dxxxxcossin1sin22(1)(1)tdutt222211(1)(1)tttdutt2008年12月5日南京航空航天大学理