定积分在生活中的应用

0院系:经济与管理学院题目:定积分在生活中的应用年级专业:11级市场营销班学生姓名:孙天鹏PINGDINGSHANUNIVERSITY1定积分在生活中的应用定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。一、定积分的概述1、定积分的定义：设函数fx在区间,ab上有界.①在,ab中任意插入若干个分点011nnaxxxxb,把区间,ab分成n个小区间01121,,,,,,,nnxxxxxx且各个小区间的长度依次为110xxx，221xxx，…，1nnnxxx。②在每个小区间1,iixx上任取一点i，作函数if与小区间长度ix的乘积iifx（1,2,,in），③作出和1niiiSfx。记12max,,,nPxxx作极限01limniiPifx如果不论对,ab怎样分法，也不论在小区间1,iixx上点i怎样取法，只要当0P时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数fx在区间,ab上的定积分（简称积分），记作bafxdx，即bafxdx=I=01limniiPifx,其中fx叫做被积函数，fxdx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，,ab叫做积分区间。22．定积分的性质设函数fx和gx在,ab上都可积，k是常数，则kfx和fx+gx都可积，并且性质1bakfxdx=bakfxdx;性质2bafxgxdx=bafxdx+bagxdxbafxgxdx=bafxdx-bagxdx.性质3定积分对于积分区间的可加性设fx在区间上可积，且a，b和c都是区间内的点，则不论a，b和c的相对位置如何，都有cafxdx=bafxdx+cbfxdx。性质4如果在区间,ab上fx1，则1badx=badx=ba。性质5如果在区间,ab上fx0,则bafxdx0ab。性质6如果在],[ba上,Mxfm)(,则baabMdxxfabm)()()(性质7（定积分中值定理）如果)(xf在],[ba上连续，则在],[ba上至少存一点使得baabfdxxf))(()(3．定理定理1微积分基本定理如果函数fx在区间,ab上连续,则积分上限函数x=xaftdt在,ab上可导,并且它的导数是'x=xadftdtdx=fxaxb.定理2原函数存在定理如果函数fx在区间,ab上连续,则函数x=xaftdt就是fx在,ab上的一个原函数.3定理3如果函数Fx是连续函数fx在区间,ab上的一个原函数,则bafxdx=FbFa称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.二、定积分的应用1、定积分在几何中的应用（1）设连续函数)(xf和)(xg满足条件)(xg)(xf，x],[ba．求曲线y)(xf，y)(xg及直线bxax,所围成的平面图形的面积S．（如图1）解法步骤：第一步：在区间],[ba上任取一小区间],[dxxx，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以)]()([xgxf为高，以dx为底的矩形面积近似，于是dxxgxfdS)]()([．第二步：在区间],[ba上将dS无限求和，得到badxxgxfS)]()([.（2）上面所诉方法是以x为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将y作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线)(yx、)(yx其中)()(yy与直线cy、dy所围成的平面图形（图2）的面积为：dcdyyyS)]()([例1求由曲线xysin，xycos及直线0x，x所围成图形的面积A．解（1）作出图形，如图所示．易知，在],0[上，曲线xysin与xycos的交点为)22,4(；图24（2）取x为积分变量，积分区间为],0[．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分；（3）区间]4,0[上这一部分的面积1A和区间],4[上这一部分的面积2A分别为401)sin(cosdxxxA，42)cos(sindxxxA，所以，所求图形的面积为21AAA=40)sin(cosdxxx+4)cos(sindxxx22sincoscossin440xxxx．例2求椭圆22221xyab的面积.解椭圆关于x轴,y轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即1044aSSydx利用椭圆的参数方程cossinxatybt应用定积分的换元法,sindxatdt,且当0x时,,2txa时,0t,于是502220204sin(cos)4sin1cos24214sin22240Sbtatdtabtdttabdttabtab2．求旋转体体积用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割bxxxaTn10:划分成许多基本的小块，每一块的厚度为),,2,1(nixi，假设每一个基本的小块横切面积为),,2,1)((nixAi，)(xA为ba,上连续函数，则此小块的体积大约是iixxA)(，将所有的小块加起来，令0T，我们可以得到其体积：baniiiTdxxAxxAV)()(lim10。例2求由曲线4xy,直线1x,4x,0y绕x轴旋转一周而形成的立体体积.解先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[x,x+xd]的小窄条，绕x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为xd，底面积为2πy的小圆柱体体积近似代替，即体积微元为Vd=2πyxd=π2)4(xxd,于是，体积V=π412d)4(xxOxxx+dxxy=4y146=16π412d1xx16π411x=12π.3.求曲线的弧长（1）设曲线)(xfy在ba,上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，取x为积分变量，在ba,上任取小区间xxxd,，切线上相应小区间的小段MT的长度近似代替一段小弧MN的长度，即dslMN.得弧长微元为：dxyyxMTs222)(1)d()d(d,再对其积分，则曲线的弧长为：dxxfdxydssbababa22)]([1)(1（2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线)()(tytx上,t一段的弧长.这时弧长微元为：2222dxdydsdxdydtdtdt即22dsttdt则曲线的弧长为dtttdss22)]([)]([例3(1)求曲线2332xy上从0到3一段弧的长度解由公式s=xybad12（ba）知,弧长为s=xyd1302=xx30d1=323023)1(x=31632=314.(2)求摆线(sin),(1cos)xattyat在20t上的一段弧的长度（0a）．解取t为积分变量，积分区间为]2,0[．由摆线的参数方程，得7)cos1(tax，taysin，tatayx222222sin)cos1(|2sin|2)cos1(2tata．于是，由公式（16-13），在20t上的一段弧的长度为22002|sin|2sin22ttsadtadt204cos82taa2、定积分在经济中的应用（1）、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x的变动区间[,]ab上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]ab上的定积分：()()()baRbRaRxdx（1）()()()baCbCaCxdx（2）()()()baLbLaLxdx（3）例1已知某商品边际收入为0.0825x（万元/t），边际成本为5（万元/t），求产量x从250t增加到300t时销售收入()Rx，总成本C()x，利润()Ix的改变量（增量）。解首先求边际利润()()()0.082550.0820LxRxCxxx所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：300250(300)(250)()RRRxdx300250(0.0825)xdx=150万元300300250250(300)(250)()CCCxdxdx=250万元300300250250(300)(250)()(0.0820)LLLxdxxdx=100万元（2）、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率8设某经济函数的变化率为()ft，则称2121()ttftdttt为该经济函数在时间间隔21[,]tt内的平均变化率。例2某银行的利息连续计算，利息率是时间t（单位：年）的函数：()0.080.015rtt求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率。解由于2200()(0.080.015)rtdttdt200.160.010.160.022tt所以开始2年的平均利息率为20()0.080.01220rtdtr0.094例3某公司运行t（年）所获利润为()Lt（元）利润的年变化率为5()3101Ltt（元/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率解由于38855852333()3101210(1)3810Ltdttdtt所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为853()7.61083Ltdt（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利57.610元。（3）、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在t（年）时的收入为()ft（万元），年利率为r，即贴现率是()rtfte，则应用定积分计算，该项目在时间区间[,]ab上总贴现值的增量为()brtaftendt。9设某工程总投资在竣工时的贴现值为A（万元），竣工后的年收入预计为a（万元）年利率为r，银行利息连续计算。在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到A，即使关系式0TrtaedtA成立的时间T（年）称为该项工程的投资回收期。例4某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期。解这里1000A，200a，0.08r，则该工程竣工后T年内收入的总贴现值为0.080.080.08002002002500(1)0.08TttTTedtee令0.082500(1)Te=1000，即得该工程回收期为110001ln(1)ln0.60.0825000.08T=6.39（年）3、定积分在物理中的应用1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分，即()basvtdt例1、一辆汽车的速度一时间曲线如图所示．求汽车在这1min行驶