定积分的计算和应用

定积分的计算与应用见涛（阜阳师范学院附属中学，[e-mail]）摘要：定积分是微积分学中从实际问题中抽象出来的一个重要的基本概念，也是积分学的基本运算之一.本文主要讨论定积分的计算及其应用，对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结，并较为深入地探讨了定积分在几何，物理，经济等领域都有着非常广泛的应用.关键词：定积分；计算；应用众所周知，微积分的两大部分是微分与积分．微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数.所以，微分与积分互为逆运算.实际上，积分还可以分为两部分.第一种是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若)(xF的导数是)(xf，那么CxF)((C是常量)的导数也是)(xf，也就是说，把)(xf积分不一定能得到)(xF，因为CxF)(的导数也是)(xf，C是无穷无尽的常数，所以)(xf积分的结果有无数个，是不确定的．我们一律用CxF)(代替，这就称为不定积分.而相对于不定积分，就是定积分.所谓定积分，就是以平面图形的面积问题引出的.)(xfy为定义在ba,上的函数，为求由)(,0,,xfyybxax所围图形的面积S，采用古希腊人的穷举法1，先在小范围内以直代曲，求出S的近似值，再取极限得到所求面积S，为此，先将ba,分成n等份：0xa1xbxn，取iiixx,1，记1iiixxx，则nP为S的近似值，当n→+∞时，nP的极限应可作为面积S.把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念定义：对于定义在ba,上的函数)(xfy，作分划0xa1xbxn，若存在一个与分划及iiixx,1的取法都无关的常数I，使得2iniixbaxfdxxfI10)(lim)((1)则称I为)(xf在ba,上的定积分，记作badxxf)(，ba,称为积分区间，)(xf称为被积函数，ba,分别称为积分的下限和上限.当)(xf的原函数存在时，定积分的计算可转化为求)(xf的不定积分.其实定积分也叫黎曼积分.我们还可以看到，定积分的本质是把图像无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系，那么，为什么定积分写成积分的形式呢？定积分和积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要理论的支撑，使得它们有了本质的密切联系.把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿—莱布尼兹公式．定理（牛顿—莱布尼兹公式）设函数)(xf在闭区间上连续，且)(xF是它在该区间上的一个原函数，则badxxf)(=)()(aFbF也常写成badxxf)(=)(xFba(2)此公式用文字表述就是说一个定积分式的值.就等于上限在原函数的值与下限在原函数的值的差，且这个差值是确定的，是一个数，而不是一个函数.正因为这个理论揭示了积分与定积分本质的联系，可见定积分在积分学以至更高等的数学上或其它领域的重要地位.因此，牛顿—莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.一、定积分的计算方法（一）几种基本的定积分计算方法由牛顿—莱布尼兹公式知，计算连续函数)(xf的定积分，关键是求3)(xf的原函数，也就是求)(xf的不定积分，那么由不定积分的换元积分法和分部积分法，自然推出定积分的换元积分法和分部积分法.⒈用定义计算例1计算定积分badx解设1)(xf,用分点0xa1xbxn把区间分割为n个小区间,记1iiixxx,ixxmax,在iixx,1上任取一点i,有1)(if,作积分和niiniiinxxfS11)(=)()()()(1211201nnnnxxxxxxxx=abxxn0,则ababSxnx)(limlim00.因此abdxba.⒉利用牛顿-莱布尼兹公式计算例2求dxex10解11010eedxexx.⒊换元法2例3计算dxxxe1ln1解dxxxe1ln1=)ln1(ln11xdxe(凑微元法))12(321)ln1(32)ln1(322323123xxe例4求dxxx10221解设txsin，从而tdtdxcos，当0x时,0t;当1x时，t=2.4则dxxx10221=20222022sin41cossintdttdtt10)4sin41(8124cos1412020ttdtt注意：①用)(tx把原来的变量x换成新变量t时，积分限也要换为相应新变量t的积分限.即对应a的为下限，对应b的为上限；②公式中的谁大谁小不受限制.⒋分部积分法3例5求21lnxdx解设dxdvxu,ln，于是xvdxxdu,1.则12ln21lnln212121dxxxxxxdx.注意：在利用分部积分公式计算定积分时，不必等到原函数求出以后才将上下限代入，可以算一步就代一步.（二）几种简化的定积分计算方法⒈关于原点对称区间上函数的定积分例6计算dxexxx22)(解由于xex为偶函数，xxe为奇函数，所以20202222)(dxxedxexdxexxxxx=2020202)(2dxexeexdxxx=2222026212222eeeeex.2.周期函数的定积分例7设)(xf是周期为T的周期函数，且连续，则dxxfdxxfTTaa0)()(（a是任意常数）5证明：由于dxxfdttfdtTtfTtxdxxfaaaTaT000)()()()(令又TaTTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00所以dxxfdxxfdxxfdxxfaTaTaa000)()()()(3.递推公式4例8计算dxxx21141解tdtttxdxxxdxxx220410241124cossin2sin121令=tdttdtdttt2020642024sin2sin2)sin1(sin2=161)221436522143(2.4.恒等变形4例9计算dxxx1021)1ln(解tdttttxdxxx2402102secsec)tan1ln(tan1)1ln(令=dtttdtttt4040cos)4cos(2lncossincosln=404040cosln)4(cosln2lntdtdttdt,由于40440cosln)4cos(lntdtutdtt令，所以原式=2ln42ln40dt.二、定积分的应用定积分的概念是从许多实际问题中抽象出来的，所以它的应用是多方面的．几何上的应用包括求体积，弧长，面积；物理上的应用将包括计算力所做的功，静压力，引力等等；及其在经济上的一些应用.（一）定积分在几何中的应用6⒈平面图形的面积解这类问题一般应用微元法5例10计算椭圆12222byax所围成的平面图形的面积解由于椭圆关于Ox轴与Oy轴对称，所以只需计算位于第一象限部分的面积,然后乘以4就得到所求平面图形的面积S.由12222byax，现选择x为积分变量（也可选择y为积分变量，难易程度相当）它的变化区间为a,0，于是dxxaabydxSaa220044，令taxsin,则tdtadxcos，当0x时，0t；2,tax时当.所以dttabtdttabS2020)2cos1(2coscos4=abttab20)2sin21(2，特别地当Rba时，得圆的面积为2RS.注：求解这类简单曲线时，①首先应求出曲线的交点；②画出经过交点的曲线；③选择适当的积分变量可使运算简便.⒉旋转体的体积例11计算椭圆12222byax围成的平面图形绕Ox轴旋转而成的旋转椭球体的体积.解2222234)1(abdxaxbdxyVaaaa,如果Rba，就得到半径为R的球的体积为334RV.例12求由抛物线2xy，直线2x及x轴所围成的平面图形分别绕x轴，y轴旋转所成的旋转体的体积．7解设绕x，y轴旋转的体积分别为xv，yv，则53251)(2052202xdxxvx,824)(240240240402yydyydyvy．参考文献：[1]RobertEllisDennyGulick.微积分(上)[M].江苏:科学技术出版社,1987年6月.388.[2]谢盛刚.微积分(上)[M].北京:科学出版社,2004年7月.134.[3]谢盛刚.微积分(上)[M].北京:科学出版社,2004年7月.136.[4]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉:崇文书局,2003年10月.266.[5]苏德矿.吴明华微积分(上)[M].北京:高等教育出版社,海德堡:施普林格出版社,2000年7月.209.姓名：见涛单位：阜阳师范学院附属中学地址：阜阳师范学院附属中学邮编：236041手机号：[phone]