15讲 梁的挠曲线方程与积分解法

第十三讲梁的挠曲线方程与积分解法湖南理工学院——曾纪杰梁的挠度和转角ypxccwx1、度量弯曲变形的两个量：（1）挠度：梁轴线上的点在垂直于梁轴线方向的所发生的线位移ω称为挠度。（工程上的一般忽略水平线位移）（2）转角：梁变形后的横截面相对于原来横截面绕中性轴所转过的角位移θ称为转角。一弯曲变形的量度及符号规定梁的挠度和转角ypxccwx（2）挠度的符号规定：向上为正，向下为负。2、符号规定：（1）坐标系的建立：坐标原点一般设在梁的左端，并规定：以变形前的梁轴线为x轴，向右为正；以y轴代表曲线的纵坐标（挠度），向上为正。（3）转角的符号规定：逆时针转向的转角为正；顺时针转向的转角为负。W（-）θ（-）1、挠曲线：在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条平面曲线，这条曲线称为挠曲线。轴线纵向对称面FqM弯曲后梁的轴线（挠曲线）力学公式：数学公式：1＝MEI纯弯曲横力弯曲（l／h＞5）1（x）M（x）EI＝＝1（x）d2wdx2[1+(dwdx)2]3/2＋－2、挠曲线的近似微分方程(1)曲率与弯矩、抗弯刚度的关系小挠度情形下：此即弹性曲线的小挠度近似微分方程。.0175.010maxrador1横力弯曲（x）M（x）EI＝max＝（0.01－0.001）l；(ddx)20＝1（x）d2dx2[1+(ddx)2]3/2＋－MEI＝d2dx2＋－（x）2owxMM0022Mdxdw选取如图坐标系，则弯矩M与恒为同号22dxd(2)挠曲线近似微分方程符号及近似解释MEI＝d2dx2（x）近似解释：（1）忽略了剪力的影响；（2）由于小变形，略去了曲线方程中的高次项。22(3)选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程＝d2dx2M(x)EIM(x)EI＝d2dx21、积分法——基本方法利用积分法求梁变形的一般步骤：（1）建立坐标系（一般：坐标原点设在梁的左端），求支座反力，分段列弯矩方程；分段的原则:①凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；②凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；③中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点；二计算弯曲变形的两种方法(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：再积分一次，得挠曲线方程：))((1)(cdxxMEIdxdxDcxdxxMEIx))((1)((3)利用边界条件、连续条件确定积分常数①积分常数的数目——取决于的分段数M(x)——n段积分常数——2n个举例：)(xM分2段，则积分常数2x2=4个②积分常数的确定——边界条件和连续条件：边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的已知条件称为边界条件。连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。边界条件积分常数2n个=2n个连续条件00AA右左右左BBBB边界条件：连续条件：列出图示结构的边界条件和连续条件。列出图示结构的边界条件和连续条件。000CAA右左右左右左BBDDDD解：边界条件：连续条件：积分常数的物理意义和几何意义物理意义：将x=0代入转角方程和挠曲线方程，得即坐标原点处梁的转角，它的EI倍就是积分常数C；即坐标原点处梁的挠度的EI倍就是积分常数D。几何意义：C——转角D——挠度(4)建立转角方程和挠曲线方程；(5)计算指定截面的转角和挠度值，特别注意和及其所在截面。oEICoEIDmaxmaxAqBLA例题1:悬臂梁受力如图所示。求和。AX``yx取参考坐标系Axy。解：1、列出梁的弯矩方程221)(qxxM)0(Lx2、22dxdzEIxM)(221qxEI积分一次：CqxEIEI361'积分二次：DCxqxEI4241（1）（2）3、确定常数C、D.由边界条件：0,Lx代入（1）得：361qLC0,yLx代入（2）得：481qLD代入（1）（2）得：)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEIEIqLA630x代入得：将（与C比较知：）CEIAEIqLA84（与D比较知：）DEIA常数C表示起始截面的转角×刚度(EI)因此常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)例题2:一简支梁受力如图所示。试求和。)(),(xxmax,AALFCabAyFByFyx解：1、求支座反力,LFbFAyLFaFByx2、分段列出梁的弯矩方程,)(1xLFbxFxMA,1xLFbEI)(LxaBC段x)0(axAC段B),()(2axFxLFbxM),(2axFxLFbEI,2'1211CxLFbEIEI)(LxaBC段)0(axAC段,)(22'22222CaxFxLFbEIEI,61131DxCxLFbEI,)(6622332DxCaxFxLFbEI3、确定常数由边界条件：0,0Ax（1）0,BLx（2）由光滑连续条件：21时，ax（3）21时，ax（4）可解得：)(6221bLLFbC,2C021DD则简支梁的转角方程和挠度方程为)],(3[6)(2221bLxLEIFbx)(LxaBC段)0(axAC段],)([6)(2231xbLxLEIFbx,2)()](3[6)(22222axFbLxLEIFbx])(6)([6)(32232axLxbLxLEIFbx4、求转角0x代入得：LEIbLFbxA6)(2201Lx代入得：LEIaLFabLxB6)(25、求。max0dxd由求得的位置值x。max,06)(22LEIbLFbA)(03)(1baLEIbaFabaxC段。在AC00)](3[6)(2221bLxLEIFbx则由解得：322bLx)(1xy代入得：EIbLFb39)(2322max2Lba若则：EIFLLx4832max在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外），可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。max作业：刘鸿文，《材料力学》（第五版）6-3d；6-4d