第二类曲面积分的计算方法-第二类曲面积分

研究生入学考试重点考点____________________________________________________________________________________________第1页共25页第二类曲面积分的计算方法赵海林张纬纬摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式Stokes公式向量计算形式1引言曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用.2预备知识2．1第二型曲面积分的概念2.1.1流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为(,,)(,,)(,,)(,,)vxyzPxyziQxyzjRxyzk,∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量.若为平面上面积为S的区域，而流速v是常向量，指定侧的单位法向量coscoscosnijk则cos.SvSvn若为曲面，流速v不是常向量，则用下面的方法计算流量.(1)分割将任意分成小块(1,2iiSinS…,),同时代表其面积.(2)近似研究生入学考试重点考点____________________________________________________________________________________________第2页共25页(,,)iiiiiMS，以点iM处的流速()iivvM和单位法向量in分别代替iS上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过iS指定侧的流量的近似值：(1,2,iiiSvnin…,).(3)求和1niiiivnS(4)取极限101max{},=.limniiiniiTiTSvnS设的直径则这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分.2.1.2定义,PQRSST设为定义在双侧曲面上的函数,在所指定的一侧作分割它，，max1,21TS,S,{}nininSSTS把分为个小曲面分割的细度，…，的径max1}{iniTS的直径，,, SyzzxxyiiiiSSS分别表示在三个坐标面上的投影区域,.SSii的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时,z.SxyiiiSxoySz在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时,.SxyiixoyS他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,)iii.若0lim1TniP,(,)iiiyziS0lim1TniQ,(,)iiizxiS0lim1TniR,(,)iiixyiS存在，,.ST(,)SPQRiiii且与曲面的分割和在上的取法无关，则称此极限为函数，，S在曲面所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作(,,)(,,)(,,)SPxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy或者研究生入学考试重点考点____________________________________________________________________________________________第3页共25页(,,)(,,)(,,)SSSPxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy.S据此定义，某流体以速度在单位时间内从曲面的负侧流向正侧的总流量为S(,,)vPQR在单位时间内从曲面的负侧流向正侧的总流量为(,,)(,,)(,,)SPxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy(,(,,),(,,),(,,))SPxyzQxyzRxyz又若，空间的磁场强度为则通过曲面的磁通量(,,)(,,)(,,)SHPxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdySS若以表示曲面的另一侧，由定义易得(,,)(,,)(,,)SPxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy(,,)(,,)(,,)SPxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy2．2第二型曲面积分的性质性质1(方向性)设向量值函数v在定向的光滑曲面S上的第二型曲面积分存在.记S为与S取相反侧的曲面，则v在S上的第二型曲面积分也存在，且成立SSvndSvndS.注意这个等式两边的n是方向相反的.性质2（线性性）若iiiSPdydzQdzdxRdxdy(1,2,ki…，)存在，则有111()()()kkkiiiiiiiiiScPdydzcQdzdxcRdxdy=1kiiiiiScPdydzQdzdxRdxdy，其中ici12k（，，，）是常数.性质3(曲面可加性)若曲面S是由两两无公共内点的曲面块12,,SkSS…，所组成，且(,,)(,,)(,,)iSPxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy i1,2k（，）存在，则有研究生入学考试重点考点____________________________________________________________________________________________第4页共25页(,,)(,,)(,,)SPxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy1(,,)(,,)(,,)ikiSPxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy2.3第二型曲面积分的数量表达式(,,){(,,),(,,),(,,)}AxyzPxyzQxyzRxyz设{cos,cos,cos},n则(,,)(coscoscos)AxyzndSPQRdS .dSS其中是曲面的面积元素记{cos,cos,cos}{,,}dSndSdSdSdSdydzdzdxdxdy，称dS为曲面.S的面积微元向量则,AndSAdSPdydzQdzdxRdxdy从而SSAndSPdydzQdzdxRdxdy.即(,,)SSAxyzndSPdydzQdzdxRdxdy，dydz是dS在yoz面上的投影；dzdx是dS在zox面上的投影；dxdy在dS在xoy面上的投影.他们的取值可正、可负、也可为零.如当cos0时，dxdy取符号.特殊形式：(,,)SPxyzdydz称为P对坐标,yz的曲面积分；(,,)SQxyzdzdx称为Q对坐标,zx的曲面积分；(,,)SRxyzdxdy称为R对坐标,xy的曲面积分.2.4介绍两类曲面积分之间的联系与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系.设S为光滑曲面，并以上侧为正侧，R为S上的连续函数，曲面积分在S的正侧进行.因而有研究生入学考试重点考点____________________________________________________________________________________________第5页共25页01lim(,,)(,,)xyniiiiTiSRxyzdxdyRS(1)由曲面面积公式1cosixyiSSdxdy，其中是曲面iS的法线方向与z轴正向的交角，它是定义在xyiS上的函数.因为积分沿曲面正侧进行，所以是锐角.又由S是光滑的，所以cos在闭区域xyiS上连续.应用中值定理，在xyiS内必存在一点，使这点的法线方向与z轴正向的夹角i满足等式1cosxyiiiSS或cosxyiiiSS.于是(,,)(,,)cosxyiiiiiiiiiRSRS.n个部分相加后得11(,,)(,,)cosxynniiiiiiiiiiiRSRS(2)现在以cosi表示曲面iS在点(,,)iiixyz的法线方向与z轴正向夹角的余弦，则由cos的连续性，可推得当0T时，(2)式右端极限存在.因此由(1)式得到(,,)(,,)cosSSQxyzdzdxQxyzdS(3)这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角改为.因而cos也改变符号，所以右边积分也相应改变了符号.同理可证：(,,)(,,)cosSSPxyzdydzPxyzdS(,,)(,,)cosSSQxyzdzdxQxyzdS(4)其中,分别是S上的法线方向与x轴正向和与y轴正向的夹角.一般地有(,,)(,,)(,,)SPxyzdxdzQxyzdzdxRxyzdxdy[(,,)cos(,,)cos(,,)cos]SPxyzQxyzRxyzdS（5）coscoscos这样在确定余弦函数,,之后，由(3),(4),(5)式，研究生入学考试重点考点____________________________________________________________________________________________第6页共25页.便建立了两种不同类型曲面积分的联系3介绍第二型曲面积分的多种计算方法在数学分析课程中，有关曲面积分，尤其是第二型曲面积分的计算是一个重点、也是一个难点问题，学生在学习过程中往往对这一问题感到束手无策、无从下手。这一方面是由于曲面积分计算本身的复杂性，它既要考虑到曲面的形状及其投影区域，又要注意到曲面的侧；另一方面,也表明学生对这一计算问题缺乏必要而又行之有效的方法.第二型曲面积分常用的计算方法主要有定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，利用高斯公式求解，利用stokes公式求解，利用积分区间对称性，向量法以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.3.1直接利用定义法进行计算若(,,)Rxyz在光滑有向曲面:Sz,,,xyzxyxyD上连续,则(,,)ddSRxyzxy存在,且有计算公式:Rx,y,zdxdyR[,,z,ddxySDxyxyxy其中xyD表示S在xoy面上的投影区域，当曲面取上侧时公式(1)的右端取“”号，取下侧时取“”号.这一公式表明，计算曲面积分(x,y,z)dxdySR时，只要把其中变量z换为表示∑的函数(,)zzxy，然后xyD在S的投影区域上计算二重积分，并考虑到符号的选取即可，这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向”.类似地，如果曲面的方程(,)yyzx，则(,,)[,(,),]zxSDQxyzdzdxQxyzxzdzdx如果曲面∑的方程为(,)xxyz,则(,,)[(,),,]yzSDPxyzdydzPxyzyzdydz例1计算积分：Sxyzdxdy其中S是球面2221xyz在第一、八卦限的部分，取球面外侧.(如图1)研究生入学考试重点考点__________________________________________________________________________________