常用微分公式

~1-3-1~§1-3微分公式(甲)基本函数的微分公式(1)dxndx=nxn1，nN。(2)dxdxnxnNnn111,。(3)dcdx=0，其中c为常数。(4)(sinx)/=cosx(5)(cosx)/=sinx另一种表示：(xn)/=nxn1/)(nx=1n11nx(c)/=0证明：(2)设a为f(x)=nx定义域中的任意点，则f/(a)=axlimf(x)f(a)xa=axlimaxaxnn=axlim])(....)())[((121nnnnnnnnnnnaaxxaxax=1)(1nnan=1n(nna1)=1n(11na)(4)设a为任意实数，f(x)=sinxf(x)f(a)xa=sinxsinaxa=axaxax2cos2sin2计算f/(a)=axlimf(x)f(a)xa=axlim(axaxax2cos2sin2)=cosa。(1)(3)(5)自证(乙)导数的四则运算(1)f(x)与g(x)为可微分的函数。f(x)+g(x)为可微分的函数。且ddx(f(x)+g(x))=ddx(f(x))+ddx(g(x))成立。另一种表示：(f(x)+g(x))/=f/(x)+g/(x)证明：令h(x)=f(x)+g(x)，设a为h(x)定义域中的任一点h/(a)=axlimh(x)h(a)xa=axlimaxagafxgxf)()()()(=axlim(f(x)f(a)xa+g(x)g(a)xa)=axlim(f(x)f(a)xa)+axlim(g(x)g(a)xa)=f/(a)+g/(a)例：求)(35xxdxd？推论：dxd(f1(x)+f2(x)+...+fn(x))=dxxdfdxxdfdxxdfn)()()(21~1-3-2~(2)设f(x)为可微分的函数。cf(x)为可微分的函数。且ddx(cf(x))=cdf(x)dx，特别c=1时，ddx(f(x))=df(x)dx。(3)ddxfxgxdfxdxdgxdx(()())()()，另一种表示：(f(x)g(x))/=f/(x)g/(x)(4)ddx(c1f1(x)+c2f2(x)+...+cnfn(x))=c1ddx(f1(x))+c2ddx(f2(x))+...+cnddx(fn(x))例如：(1)ddx(anxn+an1xn1+...+a1x+a0)(2)(3x52x3+45x)/=？(5)f(x)，g(x)为可微分的函数。f(x)g(x)为可微分的函数。且ddx(f(x)g(x))=ddx(f(x))g(x)+f(x)ddx(g(x))另一种表示：(f(x)g(x))/=f/(x)g(x)+f(x)g/(x)证明：例如：试求ddxxxxx(()())?223321下面我们要推导例2的一般情形：(a)ddxfxfxfx(()()())123=dfxdxfxfxfxdfxdxfxfxfxdfxdx123123123()()()()()()()()()(b)ddxfffdfdxffffdfdxnnn()121212(逐次轮流微分)(c)如果ffffn12，则可得ddxfxnfxdfxdxnn((())(())()1例如：试求()xx2523的导数。~1-3-3~[例題1]证明dxdxrxrQrr1,。(6)若f(x)，g(x)在x=a可微分，且ga()0，则ddxfxgxfagafagagaxa(()())|()()()()(())//2。因此可得：(()())()()()()(())///fxgxfxgxfxgxgx2若f(x)=1，则(1g(x))/=)())((1/2xgxg例如：试求xxx2211的导函数。例如：求(1x2+x+1)/=？例如：设r为负有理数，证明dxdxrxrr1。结论：若设r为有理数，则dxdxrxrr1。[例題2]求下列各函数的导函数：(1)(x2+2x)(x2+3x+2)(2)(x2)3(x21)(3)(x2+x+1)(4x3+x4)(x+3)(3)3x3+2x+1(4)(x+1)2(x1)3Ans：(1)4x3+15x2+16x+4(2)(x2)2(5x24x3)(3)(2x+1)(4x3+x4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)+(x2+x+1)(4x3+x4)(4)3(3x2+2)(x3+2x+1)2(5)(x+1)(x+5)(x1)4~1-3-4~[例題3]请利用(sinx)/=cosx，(cosx)/=sinx的结果证明：(tanx)/=sec2x，(secx)/=secxtanx(練習1.)试求下列的导函数：(1)x36x2+7x11(2)(x3+3x)2(2x+1)(3)(x+1)(2x2+2)(3x2+x+1)(4)(2x3+x+1)5Ans：(1)3x212x+7(2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x)(3)(2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1)(4x)(3x2+x+1)+(x+1)(2x2+2)(6x+1)(4)5(2x3+x+1)4(6x2+1)(練習2.)求下列各函数的导函数。(1)f(x)=x3+x+12x2+x+3(2)f(x)=3xx2+3x+1(3)f(x)=14x3+3x2+2x+1(4)f(x)=1x3+2x+1Ans：(1)2x4+2x3+7x24x+2(2x2+x+3)2(2)3x2+3(x2+3x+1)2(3)1(4x3+3x2+2x+1)2(12x2+6x+2)(4)3x22(x3+2x+1)2(練習3.)证明ddxxx(cot)csc2，ddxxxx(csc)csccot(丙)连锁法则(1)合成函数：(a)设fxxxgyy(),()231，则gfxxx(())231。xxxxxfg22311，()()gfxxx231所以()()gfx为x的函数。(b)gffg~1-3-5~(2)连锁法则：既然()()gfx为x的函数，我们就可以讨论ddxgfx()()?例：设fxxgxy(),()232，则()()(())()gfxgfxx232利用ddxfxnfxdfxdxnn((())(())()1，可得ddxxxx(())()2322322=ddygydfxdxyx()|()22上式并不是巧合，一般的情形亦是如此。定理：(连锁法则ChainRule)若f(x),g(y)都是可微分的函数，则合成函数()()gfx亦可微分，而且ddxgfxdgydydfxdxgfxgfxfxyfx(()())()|()()()(())()()///或。[例題4]求/32)1(xx？一般情形：nN，f(x)可微分，求/))((nxf=?~1-3-6~[例題5]求f(x)=sin2x的导函数。Ans：2sinxcosx[例題6]求下列函数的导函数：(1)fxx()tan3(2)xxf5csc)((3)fxx()tan12Ans：(1)3tan2xsec2x(2)5csc5xcot5x(3)22211secxxx(練習4.)设n为正整数而f(x)为可微分的函数，试用连锁律去计算(f(x))n的导函数。Ans：n(f(x))n1f/(x)(練習5.)求ddx(524)53(xxx=？Ans：1554)53(24xxx(4x3+6x1)(練習6.)()?/xx2231Ans：3213)12(2xxx(練習7.)求下列各小题y/(1)yxxsin(2)yxcos3(3)yx521cos()(4)yxxsincos4(5)yx12sinAns：(1)sincosxxx(2)32cossinxx(3)1021sin()x(4)coscossinsinxxxx444(5)sincossinxxx12~1-3-7~(練習8.)计算下列各小题：(1)(x2x1)/=？Ans：3x12x1(2)ddx(2x+13x5)=？Ans：6x2323x5(3x5)(3)求f(x)=x2+13x+1的导函数。Ans：f/(x)=x3(3x+1)2x2+1(練習9.)设可微函数f(x)满足f(x1x+1)=x，则f/(0)=？Ans：2[例題7]试求/41xx？(練習10.)试求413xx的导函数。Ans：453)13(41xx(練習11.)求f(x)=122xx的导函数。Ans：f/(x)=112212222xxxxx(練習12.)fxxx()2134，求f/(3)=？322274(練習13.)设y=(x+1+x2)10，试求dydx=？Ans：101+x2(x+1+x2)10[例題8]求斜率为2，而与曲线y=f(x)=13x312x2+13相切之直线方程式。Ans：4x2y+3=0，2xy3=0(練習14.)求过曲线y=f(x)=13x3+x22的点，而斜率最小的切线方程式。~1-3-8~Ans：y+43=(1)(x+1)(練習15.)求通过y=x33x24x1上x=1处之切线与法线方程式。Ans：7x+y=0，x7y50=0(練習16.)函数f(x)=x21x2+x+1的图形上以(0,1)为切点的切线斜率为。Ans：1[例題9]设拋物线y=ax2+bx+c与直线7xy8=0相切于点(2,6)，而与直线xy+1=0相切，求a,b,c之值。Ans：a=3,b=5,c=4(85日大自然)[例題10]直角坐标上，给定一曲线：y=x33x2，自点P(2,5)向所作的切线方程式。Ans：3x+y1=0，15x4y50=0(練習17.)过原点且与曲线y=x33x21相切之直线方程式。Ans：y=3x，y=154x。(練習18.)设拋物线y=ax2+bx+c过点(1,1)，且与直线xy=3相切于(2,1)。求a,b,c之值Ans：a=3，b=11，c=9[例題11]设a,b,c为实数，已知二曲线y=x2+ax+b与y=x3+c在点A(1,2)处相切，L为两曲线在~1-3-9~A点的公切线，试求(1)a,b,c(2)求L的方程式。Ans：(1)a=5，b=2，c=1(2)3x+y1=0(練習19.)拋物线：y=p(x)的对称轴平行于y轴，且与x轴交于点(2,0)，并在x=1时与函数y=x4+1的图形相切，试求p(x)=？Ans：p(x)=6x2+16x8(練習20.)求y=x33x，y=x33x+32两曲线的公切线方程式。Ans：9xy+16=0综合练习1.(1)321453xxy，求dydx=?(2)fxxx()11，求f/(12)=？(3)f(x)=x3(x3+5x)10，求f/(x)Ans：(1)dydxxxxx33512403412224(2)439(3)xxxx3953533652.求下列各函数的导函数：(1)fxx()()2531(2)fxxx()()22521(3)fxxx()()()211425Ans：(1)fxxx'()()1013223(2)fxxxx'()()()10212426(3)fxxxxx'()()(8)()211012132263.试求下列个函数的导函数：(1)fxx()sin~1-3-10~(2)fxxx()cos()22(3)xxf1