常微分方程典型例题

1习题课•本章的内容是可用初等积分法求解的各种类型的微分方程.•要熟练掌握它们的解法，还应学习解微分方程的各种技巧，特别要善于根据方程的特点进行变形，或引进合适的变量替换，把它们变到我们熟悉的各种类型的方程.2对应齐次方程通解为2Cyx例1求方程22yxydxdy的通解.解方程改写为yxydydx2(1)令2)(yyCx,代如方程(1),得yyyCyyyCyyC22)(2)(2)(1.交换x与y的地位3化简得yyC1)(积分得1||ln)(CyyC例2xyyyyyln2解原方程可化为yyxdydxln21所以原方程通积分为|)|ln(12yCyxyyyCyyyCyyC22)(2)(2)(4这是以x为未知函数的一阶线性方程.对应齐次方程yxdydx的通解为yCx，令yyCx)(，代入原方程，得yyyyCln2)(,积分得yyCyCln)(2.于是通积分为yyyCxln.12lndxxydyy52.xyyxysin123313.yxyxy练习1.0)ln(lndyyxydxy6(1)形如)(cbyaxfdxdy的方程令cbyaxz,则可将原方程化为变量可分离方程)(zbfadxdz2.引进适当变换（变量替换）7例3求方程1yxdxdy的通解.解令1yxz,则dxdydxdz1,原方程化为zdxdz1,通解为xCez1,原方程通解为xCexy2.8234465dyxydxxy23xyz，例4求解方程3(4)7222322525dzdyzzdxdxzz72225zdzdxz解令则方程可化为12922ln||7497xzzC即再代回原来变量可得原方程通积分.分离变量，得9(2)形如)(xyfxydxdy的方程令xyz,可化为变量可分离方程)(zxfdxdz例5求方程)14(22yxxydxdy的通解.解令xyz,原方程可化为)14(2zxdxdz解之,再代回可得原方程通解)tan(212Cxxy10(3)形如ayexqxpdxdy)()(常数0a的方程.2()()dzapxzaqxzdx例6求解方程yxexdxdy1的通解.令ayez,可化为关于z的伯努利方程解令yez,则dxdyedxdzy原方程化为2xzxzdxdz解之，再代回，得原方程通解为)ln(2xCxy11例7解方程)3(12xexdxdyy解作变换yeu，则方程可化为223xuxudxdu这是2n的伯努利方程令1uz，代入上式，化简得)1(132xxzdxdz对应齐次方程03xzdxdz的通解为3xcz12设3)(xxCz，代入线性方程(1)，得2)(2xCxC因此,线性方程(1)的通解为xxCz213代回原变量，得原方程通解为2321xCxey,即)21ln(23xCxy13(4)形如xyxybaxxfdxdy)((a,b是常数)的方程令xyz,可化为)(bzaxfdxdz例8求方程2)(xyxxxydxdy的通解.解令xyz,原方程可化为2)(zxdxdz令zxu,则21udxdz解之,再代回原方程,得通解为2)tan(xCxxy14例90)cos1(cossinlnyxyyxyx解令yucos,代入方程得xuxxudxdulnln2这是伯努利方程，做变换1uz，化简得)1(ln1lnxxxzdxdz这是线性方程，对应齐次方程0lnxxzdxdz的通解为xCzln（5）其它变量替换15设xxCzln)(代入线性方程(1),得1)(xC两边积分得CxxC)(所以，上述线性方程(1)的通解为)(ln1xCxz代回原变量，得原方程的通解xCxylncos，此外0u，即2ny（为整数）也是原方程的解16例101)()(33xyxxyxdxdy解令uxy，代入原方程得33duxuxudx原方程通积分为1)(1222xCexyx这是伯努利方程，令2uz，则方程可化为322xxzdxdz易求得解为122xCezx此外，y=x也是方程的一个解.171.(1)yxdyexedx222.()()0yxydxxxydy2223.2()dyxyxyyxdx224.()xdyydxxydx225.4()210yeyxy226.()0xxyyxyeydxxedy练习18三.将方程从微商形式改为微分形式,或从微分形式改为微商形式,有时可以把方程变为可解类型.例11解方程422yxyxdxdy解把方程改写为微分形式0)4()2(2dyyxdxyx因为xNyM1,所以是全微分方程,19取0,000yx得通积分为Cyyxxyx432232例12解方程02)(ln22ydyxdxxyx解显然xNyM,原方程不是全微分方程,把原方程改写成微商形式yxxyxdxdy222ln或xxyxdxdyln1122220解之,再代回得原方程通积分为xxxCy22ln21令2yu,将其化为一个线性方程xxuxdxduln112