对弧长曲线积分

第四节对弧长的曲线积分一、弧微分二、对弧长的曲线积分的计算（第十章第一节）G表示的几种几何形体以及其上的积分：D闭区间[a,b]L(平面有界闭区域)（平面有限曲线段）（有限曲面片）(空间有界闭区域)(空间有限曲线段)二重积分三重积分对弧长的曲线积分对面积的曲面积分几何形体上的积分GfPdg,;Dfxyd,,fxyzdv,;Lfxyds,,fxyzds重积分对弧长的（第一类）曲线积分对面积的（第一类）曲面积分(,,)fxyzdS(,)GLfPdgfxyds当G为平面或空间有限光滑(或分段光滑)曲线(L或)时，积分称为对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,即(,,)GfPdgfxyzds或(,)(,,)Lfxydsfxyzds或当L(或)为简单闭曲线时,对弧长的积分记为计算思路：(,)Lfxyds化为定积分来计算点在L上变化?复习弧长微分概念对弧长的曲线积分的计算21,dsydxxoyab()yfx(1)直角坐标情形对x取有,s弧长微分公式22()()dsdxdy21(),dydxdxxxxsx,xdyds以直代曲一、弧长微分,sds过点M作切线，M(2)参数方程情形曲线弧为(),(),xtyt().t且在上具有连续导数[,](),t().t22()()dsdxdy222[()()]()ttdt22()().dsttdt(),dxtdt().dytdt弧长微分公式(化为定积分)（1）参数方程情形(),:(),(),xtLtyt其中(),()tt有连续的导数，且22()()0;tt设曲线,在上连续.fxyL二、对弧长曲线积分的计算1.平面曲线积分(,)Lfxyds(,),fxyftt(,)Lfxyds22[(),()]()()fttttdt:(),()().Lxtytt(化为对t的定积分)22()().dsttdt(,)xyL在上变化，因此.其中计算公式(,)Lfxyds22[(),()]()(),fttttdt第一类曲线积分的计算公式注1:右端被积函数在,上连续，故右端的定积分存在.(,)Lfxyds22[(),()]()(),fttttdt注2:在第一型曲线积分的计算中,?定积分的下限一定要小于上限.22()()dsttdt00.0(,)Lfxyds（2）直角坐标情形化成参数方程,(),xxyyx(,)Lfxyds2[,()]1().bafxyxyxdx:(),Lyyx.axb.axb222()()1()dsdxdyyxdxds:(),,Lxxycyd若?21()dsxydy(,)Lfxyds2[(),]1().dcfxyyxydy例1计算,LIxydssin,txat其中L的方程是cos,(0).sin,2xattyatcos,tyat22()()ttdsxydt22(sin)(cos)atatdt.adt解axyOL先求参数形式的弧微分LIxyds22()().ttdsxydtadt20cossinatatadt320sin(sin)atdt23(sin)220ta3.2a(0)2t例2计算,LIxyds其中L是以(0,0),1,0,1,1OAB为顶点的.LOAOBABLOAABBOI三角形边界.L是分段光滑弧段,解yx(1,1)B(0,0)(1,0)AOxy在OA上，0,01yx22dsdxdydx1012OAxydsxdx故在AB上，1,01xydsdy10312ABxydsydy故yx(1,1)B(0,0)(1,0)AOxy10222OAxydsxdx故在BO上，,01yxx2dsdx1322222Lxyds因此yx(1,1)B(0,0)(1,0)AOxy2.空间对弧长的曲线积分计算(),:(),().(),xtyttzt(,,)fxyzds222()()().tttdtds(参数情形)[(),(),()]fttt曲线平面情形的推广例3计算222,dsxyz其中是螺线的第一圈222()()()tttdsxyzdtcos,xatsin,yatzbt(02).t222(sin)(cos)()atatbdt22.abdt解22.dsabdt222dsxyz2222220dtababt2222220(cos)(sin)()abdtatatbt2222220()abdbtbabt2221arctan()0abbtbaa222arctan.abbaba22(1arctan)dxaxxcaa以圆弧的圆心为坐标原点,L例4有一段铁丝成半圆形L，半径为R，其上任一点的线密度的大小等于该点到其两端点连线的距离，求其质量.L的对称轴为y轴.则建立坐标系:,.LLMxydsydsyxo解R,xy,xyy线密度为质量为L(半圆弧)的参数方程为LMydscos,sin,xRyR(0).20cosR20sinRd22.R22()().dsxydtRd小结对弧长的曲线积分的计算----化为定积分(,)Lfxyds1.把积分路径L代入被积函数；2.根据积分路径L的不同的表示形式，求出弧微分.3.定出定积分的上下限，下限小于上限.(1)曲线弧为参数方程的计算(2)曲线弧的方程为显函数方程的计算:(),()().Lxtytt(,)Lfxyds22[(),()]()()fttttdt22()().dsttdt将显函数方程化为参数形式：(,)Lfxyds2[,()]1().bafxyxyxdx:(),Lyyx.axb21()dsyxdx思考题1.以下两式正确否？（1）区域222:,Dxya则22aa(错误)（2）曲线222:,Lxya则22()Lxyds32.a4.a(正确)22()Dxyd22aa2a2a221,,4xyxy22281xy2.若有不均匀的椭圆形构件，,xy其上一点的线密度则此椭圆形构件的平均线密度是提示：平均线密度=质量M/曲线长L平均线密度(,)LLxydsds2?22LLdsds221,4LLxydsdsxy其中1212LLdsds22221:281:42LxyLxy平均线密度22),(LLLLdsdsdsdsyx讨论题由此给出对弧长的曲线积分的几何意义.已知一柱面的准线（平面曲线）和高，可以利用积分求出它的面积吗？提示：由定积分的几何意义推广.答：柱面的侧面积(,)Lfxyds（准线y=y(x)为底边，z=f(x,y)为高的面积）Oxyz),(yxfzy=y(x)(,)()0(,)Lfxydsyyxzzfxy表示柱面介于平面与之间部分的面积.)(:xyyL准线Oxyz),(yxfz)(xyy柱面：平面上对弧长的曲线积分几何意义：作业P.1313.(1),(3),(4),(6)(8).