用二分法求方程的近似解-经典例题及答案

例1：利用计算器，求方程0122xx的一个近似解（精确到0.1）．【解】设2()21fxxx，先画出函数图象的简图.(如右图所示)因为(2)10,(3)20ff，所以在区间(2,3)内，方程2210xx有一解，记为1x.取2与3的平均数2.5，因为(2.5)0.250f，所以122.5x.再取2与2.5的平均数2.25，因为(2.25)0.43750f，所以12.252.5x.如此继续下去，得1(2)0,(3)0(2,3)ffx1(2)0,(2.5)0(2,2.5)ffx1(2.25)0,(2.5)0(2.25,2.5)ffx1(2.375)0,(2.5)0(2.375,2.5)ffx1(2.375)0,(2.4375)0(2.375,ffx2.4375)，因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为12.4x.利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.点评:①第一步确定零点所在的大致区间),(ba，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；②建议列表样式如下：零点所在区间区间中点函数值区间长度]3,2[0)5.2(f1]5.2,2[0)25.2(f0.5]5.2,25.2[0)375.2(f0.25]5.2,375.2[0)4375.2(f0.125如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．例2：利用计算器，求方程xx3lg的近似解（精确到0.1）．分析：分别画函数lgyx和3yx的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个程xx3lg的解．由函数lgyx与点的横坐标就是方3yx的图象可以发现，方程xx3lg有惟一解，记为1x，并且这个解在区间(2,3)内.【解】设()lg3fxxx，利用计算器计算得1(2)0,(3)0(2,3)ffx1(2.5)0,(3)0(2.5,3)ffx1(2.5)0,(2.75)0(2.5,2.75)ffx1(2.5)0,(2.625)0(2.5,2.625)ffx(2.5625)0,(2.625)0ff1x(2.5625,2.625)因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以此方程的近似解为12.6x.思考:发现计算的结果约稳定在2.58717.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．例3：利用计算器，求方程24xx的近似解（精确到0.1）．【解】方程24xx可以化为24xx．分别画函数2xy与4yx的图象，由图象可以知道，方程24xx的解在区间(1,2)内，那么对于区间(1,2)，利用二分法就可以求得它的近似解为1.4x.追踪训练一1.设0x是方程ln4xx的解，则0x所在的区间为（B）A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)2.估算方程25710xx的正根所在的区间是（B）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)3．计算器求得方程25710xx的负根所在的区间是（A）A．（1，0）B．2,1C．2.5,2D．3,2.54.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到0.1)(1)lg21xx(2)34xx答案:(1)0.8(2)13.9x,21.6x一、含字母系数的二次函数问题例4：二次函数2()fxpxqxr中实数p、q、r满足021pqrmmm，其中0m，求证：（1）()01mpfm)；（2）方程()0fx在(0,1)内恒有解．分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：1mm是区间(0,1)内的数，且()01mpfm，这就启发我们把区间(0,1)划分为(0，1mm)和（1mm，1）来处理．【解】（1）2()[()()]111mmmpfppqrmmm2[](1)1pmqrpmmmm2[](1)2pmppmmm222(2)(1)[](1)(2)mmmpmmm22(1)(2)pmmm，由于()fx是二次函数,故0p，又0m，所以，()01mpfm．⑵由题意，得(0)fr,(1)fpqr．①当0p时，由（1）知()01mfm若0r，则(0)0f，又()01mfm,所以()fx在（0，1mm）内有解．若0r，则(1)fpqr(1)pm()2prrmm02prmm，又()01mfm，所以()0fx在（1mm,1）内有解．②当0p时同理可证．点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数0p．若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．（2）对字母p、r分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对p分类，然后对r分类显然是比较好．追踪训练二1．若方程2210axx在(0,1)内恰有一则实数a的取值范围是(B)A．1[,)8B．(1,)C．(,1)D．1[,1)82.方程22210xxk的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是112k；3．已知函数()24fxmx，在[2,1]上存在0x，使0()0fx，则实数m的取值范围是____12mm或_____________．4．已知函数3fxxx⑴试求函数yfx的零点；⑵是否存在自然数n，使1000fn？若存在，求出n，若不存在，请说明理由．答案：（1）函数()yfx的零点为0x；（2）计算得(9)738f，(10)1010f，由函数的单调性，可知不存在自然数n，使1000fn成立．