等差数列 教师资格试讲教案

教育教学实践能力测评教案课题：等差数列的概念及通项公式考生姓名：报名号：档案号：课题2.2.1等差数列的概念及通项公式教学目的知识与技能：1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。过程与方法：1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性。情感态度和价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识。教学设想教学重点：理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题。教学难点：(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用；(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式。教学方式启发式，归纳法，讲练法相结合教学工具多媒体课件，板书。教学过程【复习回顾】提问（课件）：上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子(1)0，5，10，15，20，25，(2)48，53，58，63，(3)18，15.5，13，10.5，8，(4)10072，10144，10216，10288，10366，请同学们来写出上述四个数列的第7项答：第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为【新知引入】讨论思考：同学们依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说答:这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性得到了这个数列的第7项为（引导学生发现）上面四个数列有什么共同特征？答：相邻两项的差相等，都等于同一个常数提问：作差是否有顺序，谁与谁相减？答：作差的顺序是后项减前项，不能颠倒引出概念：以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列.这就是我们这节课要研究的内容一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示强调说明：教学过程（1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（2）对于数列{an}，若an-an-1=d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列，d叫做公差提问：定义中的关键字是什么?答：从“第二项起”和“同一个常数”。很好，请同学们思考，数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？答：数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5n-15.5，….【合作探究】好，同学们用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们来共同思考等差数列的通项公式等差数列定义是由数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得什么答：a2-a1=d,即a2=a1+da3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2da4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d规律性的东西已经被找出来了，大家能由此归纳出等差数列的通项公式吗答：因为a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.将它们相加便可以得到：an=a1+(n-1)d【教师精讲】太棒了！同学们说的非常对，我们一起来总结一下：由上述关系还可得：am=a1+(m-1)d即a1=am-(m-1)d则an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d即等差数列的第二通项公式an=am+(n-m)d.(这是变通的通项公式由此我们还可以得到nmaadnm【例题精析】例1（1）求等差数列8，5，2,…的第20项（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？答：（1）首项和公差分别是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列的通项公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-（2）由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为an=-5-4(n-由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是这个数列的第100项说明:(1)强调当数列｛an｝的项数n已知时，下标应是确切的数字；教学过程(2)实际上是求一个方程的正整数解的问题.要判断-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式an，判断是否存在正整数n，使得an=-401成立例2已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？答：当n≥2时，〔取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2)〕an-an-1=(pn+q)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数所以我们说{an}是等差数列，首项a1=p+q，公差为说明：(1)若p=0，则{an}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，(2)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项an=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.【课堂练习】(1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项解：根据题意可知a1=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为an=3+(n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈N*).∴a4=4×4-1=15，a10=4×10-(2)求等差数列10，8，6，…的第20项解：根据题意可知a1=10，d=8-10=-该数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28.(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由解：根据题意可得a1=2，d=9-2=7.因而此数列通项公式为an=2+(n-1)×7=7n-令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项(4)-20是不是等差数列0，213，-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由解：由题意可知a1=0，d=213,因而此数列的通项公式为2727nan令202727n，解得747n.因为202727n没有正整数解，所以-20不是这个数列的项高考教学过程【课堂小结】提问：1.本节课学习了什么？2.要注意什么？3.在生活中能否运用？(让学生反思、归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力总结：通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式an-an-1=d(n≥2);其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d(n本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道an，a1，d，n中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个.最后，还要注意一重要关系式an=am+(n-m)d和an=pn+q(p、q是常数)的理解与应用【作业】课本第45页习题2.2A组第1题，B组第1题.【板书设计】本课主要以多媒体呈现课本全部知识，黑板上仅体现本课重点内容。2.2.1等差数列的概念、等差数列的通项公式多媒体投影1.定义2.数学表达式3．等差数列的通项公式例1：例2：【教学反思】