欧拉公式的证明(整理)

欧拉公式的证明著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i,e,π,绝妙地联系在一起方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的）再抄一遍：设z=x+iy这样e^z=e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x=e^(iy)用牛顿幂级数展开式e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+......把e^(iy)展开，就得到e^z/e^x=e^(iy)=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.....=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....)+i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)由于cosy=1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,siny=y-y^3/3!+y^5/5!-....所以e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny)即e^(iy)=(cosy+isiny)方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinzcosz而后根据关系推导出了欧拉公式。着个才是根基。由来缘于此。方法一是不严格的。再请看这2个积分∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2;上式左边相当于下式左边乘以i于是上式右边相当于下式右边乘以i然后化简就得到欧拉公式这个证明方法不太严密但很有启发性历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式设atθЄR,ρЄR+,a^(it)Єz有:a^(it)=ρ(cosθ+isinθ)1因共轭解适合方程,用-i替换i有:a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ)2由1,2得ρ=1,点P[a^(it)]在单位圆上,a^(it)可表达为:a^(it)=cosθ+isinθ3设t=u(θ),对3微商有:[a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=-sinθ+icosθ整理有:[a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=(cosθ+isinθ)(cosπ/2+isinπ/2)约去a^(it)有:u'(θ)=logae44取积分有:T=(logae)*θ+Ψ5θ→0时,t=limt=Ψ,带入3有:a^(iΨ)=1即:Ψ=066代入5有:T=(logae)*θ77代入3有:[a^(logae)]^(iθ)=cosθ+isinθ化简得欧拉公式:e^(iθ)=cosθ+isinθ（后两者才是真正让我震惊的！！！！）