矩阵第一章线性空间与线性变换

1.1线性空间＋＝　　　　定义：　　　　与之对应，且，存在唯一的，加法：对任意V1.两种代数运算。中定义了V在　　　　　数域。是V是非空间集合，P　　　　　　定义1.1.1V,)1(　　　　V,,)()()2(　　　　　　　　　负元素；的是）＝０，称－＋（－　　　　，使得，存在－　　对任一４VV)(加法规则：　　＋０＝满足中存在零元素“０”，　V)3(kkkV＝　　　记为的数乘，与称为　与它们对应　　　元素，在Ｖ中都有唯一的　　　和数域Ｐ中一数中任一元素则，对数乘：就是给定一个法,.2数乘规则：Pl,k,V)kl()l(k)1(　　　　　P1,V1)2(　　　　两条相容性规则：Pk,V,kk)(k)1(　　　　Pl,k,Vlk)lk()2(　　　　　元素称为向量。量）空间，Ｖ中的为数域Ｐ上的线性（向称条规则的非空集合Ｖ，　　满足以上8线性空间。量加法和数乘形成的集合，对于通常的向组成＝向量例：几何空间中的全部２１nxxxxn1nn2211kx2kxkxkx,yxyxyxyx　　示成它的加法和数乘可以表中的加法和数乘，有：对于线性空间nR1v2v213vvvvkv。　　　　　一的负向量任一向量也有唯　　　　　向量，Ｖ中中，有唯一的零　　　　　线性空间Ｖ定理1.1.11.1.2基、坐标　Ｓ是线性相关的。称果方程有非平凡解，则　Ｓ是线性无关的；如，称　　　如果仅有平凡解１）１１　　　　　　　　　的非空子集合，方程是线性空间Ｖ中　　　　　设0kkk..(0kkk},,,{Sm21mm2211m21定义1.1.2的线性关系。＝，｝　　Ｓ＝｛］中的向量集合［例：考虑Ｐ３３2221n21t2t2)t(Pt3t2)t(P,t1)t(PP,,P,Pt0)t2t2(k)t3t2(kt1k)t(Pk)t(Pk)t(Pk2322111）（＝０＋＋解：３３２２0Ak即　　321kkkk　　２３０２１１０２１其中　Ａ＝32)A(Rdim于是Ａk＝０有非平凡解，Ｓ是线性相关向量组。。的维数，记为称为线性空间ＶＶ的基向量，称为（底），称Ｓ是Ｖ的一个基n)Vdim(n,,,n21；　Ｓ是线性无关向量组)1(中向量的线性组合。　Ｖ中任一向量都是Ｓ)2(满足以下条件：　　　　　子集的线性空间Ｖ中有非空　　　　　设数域Ｐ上},,,{Sn21定义1.1.3注：线性空间中的基不是唯一的。如)1,0,0(e)0,1,0(e)0,0,1(en1　　２)1,0,0,0(y)1,1,1,0(y)1,1,1,1(yn1　　２和的基。都是线性空间ＲnnTn21in21n21nnn21Pxx,,x,xxPxxxx),,,(},,,{S　　且在基Ｓ下的坐标，是向量　　称　　　　　　　　　中的一个向量，而且是Ｖ　　　　　基（底），一个是线性空间Ｖ　　　　　设(1.1.4)定义1.1.4n,,2,1iyxyxyxyxyyyxxx},,,{Siinnn22111nn2211nn2211nnn21　　　　　　　的，所以　　由于Ｓ是线性无关＝０）－（）－（）－　（　　这样就有　　　　　　　　　　　　　假设：两个坐标，即中任一向量，在Ｓ下有是Ｖ　　　的一个基，是线性空间Ｖ证明：设２　标唯一。　　　　　个基下的坐中，任一向量在一维线性空间　　　　　在nVn定理1.1.2　　对应。的同构与Ｖ应关系是Ｖ　　的，并且称这种对是同构与Ｖ线性空间Ｖ　　　称为数域Ｐ上的　　　　　　　　　　　　　　　　时，有　　　，，　　　且当，，　　　性空间，若同为域Ｐ上的两个线与Ｖ　　　　　　设Ｖ*nn*nn****n**n***n*n**nnkkV,,V,)V,V(定义1.1.5：＝１，２，３时，如图的一个基。当是Ｒ元向量，０的个分量是１，其余都是是第中，例：在Ｒnnje)nj1(},e,,e,e{Snjn21n1e1x1e1x2x2e1e1x2x2e3x3e1.1.3基变换与坐标变换(1)基变换）　　（　　设：示，可以用Ｓ的线性组合表的两个基，Ｖ是线性空间和1.1.9nnn2n21n1nn2n2221122n1n2211111jnn21*n21ppppppppp)nj1(},,,{S},,,{S上式用矩阵可以写成(1.1.10)P),,,(),,,(n21n21　　nn2n1nn22221n11211PPPPPPPPPP(1.1.9)式称为中两个基的变换公式。矩阵p称为从s到s*的过渡矩阵，且nV0pdet（2)向量的坐标变换定理1.1.3设向量在基下的坐标是;在基下的坐标是，；假设从到的基满足关系式(1.1.10)，那么坐标满足关系式nV},,,{Sn21nTn21Px)x,,x,x(x　},,,{Sn21*nTn21Py)y,,y,y(y　S*SYX与(1.1.11)(1.1.12)n21n21yyyPxxxn211n21xxxPyyy即Ｔ２１２１Ｔ２１２１），，　　（　在新基下的坐标）时，向量，，　　（，求当该基改变为基），，　　标为（下的坐，，在基中，已知向量例：在Ｒnnnnnxyyyeeex)1,0,0(e)0,1,0(e)0,0,1(en1　　２)1,0,0,0(y)1,1,1,0(y)1,1,1,1(yn1　　２其中nnnyyyx２１２１２１１１０００００１１０００１１０００１＝下的坐标为，，在新基所以），＝２，３，　　（－＝＝也就是－１１１niiii1.2.1线性子空间定义1.1.2设是线性空间的非空子集，如果对中所定义的加法和数乘两种运算满足：⒈如果，则；⒉如果，则，则称是的线性空间的子空间。WVWW,WPk,WWkWVV1.2线性空间的子空间易证，线性子空间也是线性空间。W和叫做线性空间的两个平凡子空间，其它子空间叫做非平凡子空间。VV}0{3R图1.2.1中是的两个线性子空间，而在图1.2.2中由于直线和平面不含原点所以不能形成的子空间。,lm图1.2.1图1.2.2见下面动画零子空间维数规定为零。而对于的其它的子空间，维数比原空间的维数小，即V)Vdim()Wdim(下面讨论子空间的生成问题设是数域上中的一个向量组，在中任取m个数，做S中向量的线性组合显然，这样全体的集合表示成},,,{Sm21PVm21k,,k,k)1.2.1(kkkmm2211　　V}mi1Pk,V,kkk{Wiimm2211P）（＝＝｛）Ｌ（生成的子空间，记为为由Ｖ中的向量称m21mm2211m21m21,,,span}kkk,,,},,,{SW},{),(}{),(}{),(332232333223222211211exexeeLVexexeeLVexexeeLV图1.2.3中,表示的几个子空间。其中是的一个基。三个子空间分别可以写成}e,e,e{S3213R3R子空间也可以写成：也可以写成以上类似形式。3V}{),,,(3322113213exexexeeeLV　　21V,V像空间和零空间）（　　　　Ｒ（Ａ）＝Ｌ矩阵Ａ的像空间，记为）为（个列向量，称子空间ＬＡ的第）表示＝１（，以Ｒ）　　设Ａ＝（n21n21inmij,,,,,,in,,2,iaann1nn21n,,,xx)A(＋＋＋　　　　　＝），，，）（　＝（　则：ＡＲ），，，＝（还可以这样生成：令Ｒ２２１Ｔ２１Ｔ２１｝Ｒ　从而Ｒ（Ａ）＝｛Ａnxx像空间和零空间＝０Ａ　　　　　　　Ｎ（Ａ）＝，即的零空间记为Ｎ（Ａ）为Ａ＝０Ａ，称集合Ｒ）　设Ａ＝（xxxxanmij的一个子空间。空间，它是Ｒ＝０的解方程组Ａ　显见Ｎ（Ａ）是齐次nx定理1.2.1设是数域上线性空间的一个维子空间，是的基，则的向量一定可以扩充为的一个基。P},,,{21mSnVWWmWnV定理1.2.2设和是线性空间的两个子空间，则它们的交是的子空间，称为和的交空间.1VV}VV{VV2121且2VV1V2V定理1.2.3设和是线性空间的两个子空间，则它们的和是的子空间，称为和的和空间。V}V,V{VV22112121V1V2V1V2V的和是整个空间。和Ｖ｛０｝，而Ｖ的交是与Ｖ垂直的平面，那么，Ｖ且与Ｖ表示一张通过原点而通过原点的直线，Ｖ表示一条中，用Ｖ例１：在三维几何空间２１２１１２１的解空间，　　　　　　　与　　　　　　　　代表齐次方程组　分别与Ｖ中，用Ｖ例２：在线性空间Ｐ２１0xbxbxb0xbxbxb0xbxbxb0xaxaxa0xaxaxa0xaxaxantn22t11tnn2222121nn1212111nsn22s11snn2222121nn1212111n的解空间。　　　　　　　　　　　　　　　就是齐次方程组Ｖ那么，Ｖ２１0xbxbxb0xbxbxb0xbxbxb0xaxaxa0xaxaxa0xaxaxantn22t11tnn2222121nn1212111nsn22s11snn2222121nn1212111定理1.2.4（维数公式）设和是的两个线性子空间，则1V2VnV)VVdim()VVdim()Vdim()Vdim(212121推论1如果维线性空间的两个子空间和的和空间维数小于和维数之和，那么它们的交空间一定含有非零向量，即n1V2V1)VVdim(211V2V定义1.2.2如果中任一向量只能唯一的表示成子空间的一个向量和子空间中的一个向量的和，则称是的直和，记为（或）21VV1V21VV21V,V21VV21VV2V定理1.2.5两个子空间的和是直和的充要条件是：)0(LVV21推论⒉设是的两个子空间，则的充要条件是：21V,VV2121VVVV)Vdim()Vdim()VVdim(2121推论2可以作为定义1.2.2的等价定义。推论3如果是的基；是的基,是直和,那么是的基.},,,{Ss21)1(1V},,,{St21)2(2V21VV},,,,,{11tsS21VV1.3.1线性变换定义从线性空间到线性空间的映射叫做变换先看一个例子1.3线性变换及其矩阵表示22112121axax)(T,aaa,xxa＝＝成，上述变换可以具体写＋）＝是Ｔ（中的变换Ｒ，定义Ｔ：ＲＲ