常用逻辑用语

华翰教辅教辅旗舰．逻辑联结词(1)可以判断________的语句叫命题，不含逻辑联结词的命题叫做________命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫做________命题．(2)逻辑联结词________：两个简单命题至少一个成立．________：两个简单命题均成立．________：对一个命题的否定．华翰教辅教辅旗舰(3)真值表：表示命题________的表叫真值表．复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定：pq綈pp∨qp∧q真真________________________真假________________________假真________________________假假________________________答案(1)真假简单复合(2)或且非(3)真假假真真假真假真真假真假假华翰教辅教辅旗舰．四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定．于是四种命题的形式为：原命题：________；逆命题：________；否命题：________；逆否命题：________.答案若p则q若q则p若綈p则綈q若綈q则綈p华翰教辅教辅旗舰．全称量词与存在量词(1)短语“所有”在陈述句中表示事物的全体，逻辑中通常叫做________，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题叫做________．(2)短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述句中表示事件的个体或部分，逻辑中通常叫做________，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题叫做________．(3)全称命题与特称命题的否定①对于全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为綈p：________；②对于特称命题q：∃x∈M，q(x)，其否定为綈q：________.华翰教辅教辅旗舰答案(1)全称量词全称命题(2)存在量词特称命题(3)∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈q(x)华翰教辅教辅旗舰．充要条件的概念(1)充要条件：命题A⇒B成立，则A是B的________，B是A的________．若A⇒B且B⇒A，则A是B的________，简称________．(2)“A是B的充分条件”与“________”是等价的，它们是同一个逻辑关系“A⇒B”的不同表达．(3)“A是B的充分条件”亦可说成“________”；“B是A的必要条件”亦可说成“________”；“A是B的充要条件”，同时“B也是A的充要条件”．答案(1)充分条件必要条件充分且必要条件充要条件(2)B是A的必要条件(3)A的必要条件是BB的充分条件是A华翰教辅教辅旗舰．命题与逻辑联结词(1)命题初中课本中给命题下的定义是：判断一件事情的句子，叫做命题．而高中课本中的定义是：可以判断真假的语句叫做命题．说法不同，实质一样．语句是不是命题，关键是它能不能判断真假，不能判断真假的语句就不是命题．如：①3是12的约数吗？②他是一个大胖子．③x＞5.它们都不是命题．语句①不涉及真假，语句②中“大胖子”没有界定，所以不能判断，语句③，由于x是未知数也不能判断“x＞5”是否成立．华翰教辅教辅旗舰(2)简单命题与复合命题不含逻辑联结词的命题，叫做简单命题．由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫做复合命题．①简单命题虽不含逻辑联结词，但它必须是命题，如果连命题都不是更谈不上是简单命题了．②含逻辑联结词的未必是复合命题．如：语句：x＞2或x＜－2就不是复合命题，因为它根本就不是命题．而语句：可以被5整除的整数，末位是0.此句没有逻辑联结词，但它却是一个复合命题，因为它可以化为复合命题的另一种形式——蕴含式，即“p→q”形式．华翰教辅教辅旗舰(3)逻辑联结词①“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词．这三个逻辑联结词的使用，构成了三种基本逻辑运算，对于两个集合A、B，其内涵与集合运算中的“并”、“交”、“补”如出一辙：“或”就是“或A”、“或B”、“或A与B”三者的总和，与集合中求“并”一致；“且”就是“既A且B”等同于集合的“交”；而“非”与集合中求“补”意义相同．因此，“或”、“且”、“非”是三种逻辑运算，可用集合中的“并”、“交”、“补”来描述．华翰教辅教辅旗舰②除“或”、“且”、“非”这三个逻辑联结词外，还有其他的逻辑联结词，如“若……则……”，“因为……所以……”等．这些逻辑联结词也构成了命题之间的逻辑运算，但我们目前高中阶段只研究三种最基本的逻辑运算．③对“或”、“且”、“非”的理解需注意：(ⅰ)“非”与求“补”的意义一样．(ⅱ)“非p”必须包括p的所有对立面．根据“非p”与求“补”的意义相同，假定“非p”与p的结论所确定的集合分别为A、B，全集为U，则由A∪B＝U，A∩B＝∅.所以“非p”的结论必须包括p的所有对立面．华翰教辅教辅旗舰如：在△ABC中，设命题p：∠A一定是锐角，则“非p”为：∠A一定不是锐角，而不能表述为：∠A不一定是锐角．因为“一定是”的对立面为“一定不是”，而不是“不一定是”．正因为“非p”包括p的所有对立面，所以“非p”与p的真假相反．(ⅲ)“非p”与否命题两者不可混淆．“非”就是否定，所以“非p”也称为命题p的否定，但“非p”只否定命题包括简单命题和(含有或、且、非的)复合命题的结论，不否定条件，也不能将条件和结论都否定，而否命题是对原命题的条件与结论全部否定，这就是“非p”与否命题的根本区别．华翰教辅教辅旗舰(ⅳ)“非p”常用的否定词语(ⅴ)数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：命题有真假之分，而定理都是真命题；命题一定有逆命题，而定理未必有逆定理．华翰教辅教辅旗舰(ⅵ)“或”与集合的“并”密切相关，集合的并集是用“或”来定义的．命题“p或q”为真的三种情况：只有p成立、只有q成立、p与q同时成立．(ⅶ)“或”、“且”联结词的命题的否定形式：命题“p或q”的否定是“非p且非q”、命题“p且q”的否定是“非p或非q”．其理解方式类似于集合中的∁I(A∪B)＝(∁IA)∩(∁IB)、∁I(A∩B)＝(∁IA)∪(∁IB)．华翰教辅教辅旗舰(4)真值表①表示命题真假的表叫真值表，三个逻辑联结词分别构成的复合命题的真值表见“知识点拨”中的公式定理栏目．②真值表可以帮助检验所述命题是否符合要求．如用“非p”与p的真假必定相反这一法则可以检验．p：四条边相等的四边形是正方形．错解：非p：四条边相等的四边形不是正方形．这里p是假命题，所以“非p”应是真命题，而叙述的语句却也是假命题，因此这种叙述不符合要求．正解：非p：四条边相等的四边形，不都是正方形．因为在p中结论为“都是正方形”，所以其否定应为：“不都是”．华翰教辅教辅旗舰③或且非的复合命题(ⅰ)非p形式的复合命题：当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真．(ⅱ)p且q形式的复合命题：当p、q都为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假．(ⅲ)p或q形式的复合命题：当p、q中至少有一个为真时，p或q为真．注意：“是”的否定有时为“不是”，有时为“不都是”，这要看具体问题中“是”的含义．华翰教辅教辅旗舰．四种命题(1)四种命题①原命题与逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件(或题设)是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把两个互逆命题的其中一个叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．如：原命题是：同位角相等，两直线平行．(ⅰ)逆命题是：两直线平行，同位角相等．(ⅱ)因此，交换原命题的条件和结论，所得的命题就是逆命题．华翰教辅教辅旗舰②否命题与逆否命题如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．把其中一个命题叫做原命题的话，那么另一个就叫做原命题的否命题．如：(ⅰ)的否命题是：同位角不相等，两直线不平行．如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．把其中一个命题叫做原命题的话，另一个就叫做原命题的逆否命题．如：(ⅰ)的逆否命题是：两直线不平行，同位角不相等．华翰教辅教辅旗舰(2)四种命题之间的关系逆命题是由原命题的条件与结论互相交换而得．即如果原命题为：若p则q，那么逆命题就是“若q则p”，所以原命题与逆命题是互逆的关系．否命题是把原命题的条件和结论同时否定而得．即原命题为：若p则q，则否命题为“若綈p则綈q”，则原命题也是把否命题的条件和结论同时否定，所以原命题与否命题是互否关系．华翰教辅教辅旗舰交换原命题的条件和结论，并且同时否定所得命题就是逆否命题．如果原命题为“若p则q”，则逆否命题就是“若綈q则綈p”，反过来把逆否命题“若綈q则綈p”的条件綈q与结论綈p交换后再否定就是“若p则q”，这就是原命题，所以原命题与逆否命题是互为逆否的关系．华翰教辅教辅旗舰同样的道理，把逆命题“若q则p”的条件与结论同时否定就得到“若綈q则綈p”，这就是逆否命题，所以逆命题与逆否命题是互否的关系．再看否命题与逆否命题的关系，从否命题“若綈p则綈q”以及逆否命题“若綈q则綈p”它们的结构看，可知否命题与逆否命题是互逆的关系．华翰教辅教辅旗舰最后逆命题与否命题的关系，从结构上看否命题是把逆命题的条件与结论先交换后否定而得，因此逆命题与否命题是互为逆否的关系．四种命题之间的关系如图所示．华翰教辅教辅旗舰(3)命题的真假与等价一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系．①原命题为真，它的逆命题不一定为真．例如，原命题：若a＝0，则ab＝0是真命题，而它的逆命题若ab＝0，则a＝0是假命题．华翰教辅教辅旗舰②原命题为真，它的否命题不一定为真．例如，原命题：若a＝0，则ab＝0，是真命题，它的否命题：若a≠0，则ab≠0是假命题．③原命题为真，它的逆否命题一定为真．仍以上面的原命题为例，它的逆否命题：若ab≠0，则a≠0，这是真命题．根据以上分析可知：原命题与它的逆否命题是等价的．因为逆命题与否命题也是互为逆否的关系，所以逆命题与否命题是等价的．若p则q⇔若綈q则綈p若q则p⇔若綈p则綈q华翰教辅教辅旗舰．全称量词与存在量词(1)全称命题为真时，表示在所限定的集合中的每一个元素都具有某种属性，使所给语句为真；特称命题为真时，表示在限定的集合中有一些元素具有某种属性，使所给语句为真．(2)一般地，若一个全称命题是真命题，那么它的否定是一个特称命题，并且是假命题；若一个特称命题是真命题，那么它的否定是一个全称命题，并且是假命题．华翰教辅教辅旗舰(3)对于同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择，以下列表表示：命题全称命题(∀x